一个文艺队的人数在 24 与 44 之间。每 5 人一排正好排完，每 7 人一排则多出 2 人。这个队有多少人？

Step-by-step solution

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   把两个条件都翻译成同余式。 “每 $5$ 人一排正好排完”是说人数 $n$ 满足 $n\equiv0\pmod 5$；“每 $7$ 人一排多 $2$ 人”是说 $n\equiv2\pmod 7$。再加上 $24\le n\le44$，$n$ 就被完全定死了——两个模互质的同余式在每 $35$ 个连续整数中只有一个解，而这个范围跨度是 $21$。

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   从更“硬”也更好用的那个条件列候选。 $24$ 与 $44$ 之间 $5$ 的倍数有：

   $25,\ 30,\ 35,\ 40$

   先用整除条件而不是余数条件来列表，名单会短得多——只要检验四个数，而不是六个。

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   逐个用 $7$ 去除检验。

   $25=7\cdot3+4,\qquad 30=7\cdot4+2\ \checkmark,\qquad 35=7\cdot5+0,\qquad 40=7\cdot5+5$

   只有 $30$ 的余数是 $2$。

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   确认解的唯一性。 由中国剩余定理，$n\equiv0\pmod5$ 与 $n\equiv2\pmod7$ 这一对条件在模 $35$ 意义下只有一个解，即 $n\equiv30\pmod{35}$。相邻的候选是 $30-35=-5$ 和 $30+35=65$，都在 $[24,44]$ 之外，所以 $30$ 是唯一答案。

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   回到题目原话核对一遍。 $30\div5=6$，正好排成 $6$ 排，一个不剩 ✓。$30\div7=4$，排成 $4$ 排七人队，还剩 $30-28=2$ 人 ✓。两个条件都满足，$30$ 也落在题给范围内，所以选 A。