一条丝带既能正好剪成若干段 9 cm 的，也能正好剪成若干段 12 cm 的。这条丝带最短是多少？

Step-by-step solution

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   先把题干翻译成整除关系。 「正好剪成 9 cm 的段」意味着长度 $L$ 是 $9$ 的倍数；「正好剪成 12 cm 的段」意味着 $L$ 是 $12$ 的倍数。所以 $L$ 是 $9$ 与 $12$ 的公倍数，而「最短」说明它是最小公倍数 —— 不是最大公约数，这正是这类题最经典的混淆点。

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   把两个数做质因数分解。

   $9=3^2,\qquad 12=2^2\times 3$

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   每个质因数取最高次幂。 求最小公倍数时，对出现过的每个质因数都取较大的指数：$2^2$ 取自 $12$，$3^2$ 取自 $9$。

   $\operatorname{lcm}(9,12)=2^2\times 3^2=4\times 9=36$

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   检查两种剪法是否都能整除。

   $36\div 9=4\ \text{段},\qquad 36\div 12=3\ \text{段}$

   都是整数，所以 $36$ cm 确实可行。

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   确认更短的都不行。 $36$ 以下的 $12$ 的倍数只有 $12$ 和 $24$；它们都不能被 $9$ 整除（$12\div9$ 和 $24\div9$ 都不是整数）。所以 $36$ cm 就是最短的丝带 ✓。