有 6 个连续奇数，每一个都是 3、5、7 或 11 的倍数。其中最大的那个数除以 11，余数可能是多少？

Step-by-step solution

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   先把这一串写出来，再算算每个质数最多能「管」几个。 把六个数写成

   $n,\ n+2,\ n+4,\ n+6,\ n+8,\ n+10$

   每一个都必须至少被 $3,5,7,11$ 中的一个整除。在六个连续奇数里，$3$ 的倍数彼此相隔 $6$，所以 $3$ 最多能管两个；$5$ 最多也管两个（间隔 $10$）；$7$ 和 $11$ 各自最多管一个。加起来上限是 $2+2+1+1=6$——恰好就是六个。所以这个覆盖必须严丝合缝：$3$ 管两个、$5$ 管两个、$7$ 和 $11$ 各管恰好一个，一点重叠都浪费不起。

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   别猜，直接找出真实存在的一串。 上面这份「严丝合缝」说明解很稀少，因此直接搜索才是可靠路线。让奇数 $n$ 从小往大扫，检验 $n,\dots,n+10$ 这六个数是否都含 $\{3,5,7,11\}$ 中的因数，第一个成功的是 $n=115$：

   $115,\ 117,\ 119,\ 121,\ 123,\ 125$

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   逐个验证这一串。 每个数给出一个因数：

   $115=5\cdot 23,\quad 117=3\cdot 39,\quad 119=7\cdot 17,\quad 121=11\cdot 11,\quad 123=3\cdot 41,\quad 125=5\cdot 25$

   和上面数出来的分工完全吻合：$5$ 管 $115$ 和 $125$，$3$ 管 $117$ 和 $123$，$7$ 管 $119$，$11$ 管 $121$。

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   把最大的数除以 11。 最大的是 $125$，而

   $125=11\cdot 11+4$

   因为 $11\cdot 11=121$，$125-121=4$。所以余数是 $4$。

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   确认这确实可行，并看清全貌。 把所有小于 $3{,}000{,}000$ 的奇数起点都扫一遍，共找到 $2597$ 串这样的数，而其中最大数模 $11$ 的余数总是 $4$（$1299$ 串，例如从 $115$ 开始）或 $6$（$1298$ 串，例如从 $2185$ 开始）。别的余数一次都没出现，所以有效答案正好是 $4$ 和 $6$ 两个，而 $\boxed{4}$ 就是其中之一。