分数 2/3, 5/8, 8/13, 11/18, … 按同一个规律排列。规律中靠后的一项是 X/253，另一项是 1499/Y。求 X 与 Y 的最大公约数。

Step-by-step solution

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   把分子和分母看成两个互不相干的数列。 它们之间没有联系，可以各自单独描述。分子 $2,5,8,11,\dots$ 每次加 $3$；分母 $3,8,13,18,\dots$ 每次加 $5$。两个都是等差数列。

2. 2

   分别写出第 $n$ 项的通项公式。 用 $\text{首项}+d(n-1)$：

   $\text{分子}=2+3(n-1)=3n-1,\qquad \text{分母}=3+5(n-1)=5n-2$

   拿 $n=4$ 验一下：$3(4)-1=11$，$5(4)-2=18$，正好对上 $\tfrac{11}{18}$。

3. 3

   找出分母是 253 的那一项。 解 $5n-2=253$ 得 $n=51$ —— 是整数，说明这一项确实属于这个规律。它的分子为

   $X=3(51)-1=152$

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   找出分子是 1499 的那一项。 解 $3n-1=1499$ 得 $n=500$，同样是整数。它的分母为

   $Y=5(500)-2=2498$

5. 5

   求最大公约数之前先把两个数分解质因数。 对着一个四位数硬猜太不保险：

   $152=2^3\times 19,\qquad 2498=2\times 1249$

   而 $1249$ 是质数（$35$ 以内的质数都除不尽它）。

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   取公共部分。 唯一共有的质因数是 $2$，它在 $2498$ 里只出现一次，所以

   $\gcd(152,\,2498)=2$

   用辗转相除法结果一致：$2498=16\cdot152+66$，$152=2\cdot66+20$，$66=3\cdot20+6$，$20=3\cdot6+2$，$6=3\cdot2+0$。