求一个三位数 A，使 A 的数字和能被 12 整除，A + 6 的数字和也能被 12 整除，且 600 < A < 900。

Step-by-step solution

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   先记住支配这一类问题的那条事实。 给一个数加上 $k$，要么数字和跟着增加 $k$（没有进位），要么每发生一次进位就让数字和少 $9$。具体地说，个位上发生一次进位，数字和的变化量是 $k-9$。

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   排除不进位的情形。 若 $12\mid S$ 且不发生进位，新的数字和是 $S+6$，模 $12$ 的余数是 $6$——永远不会是 $0$。所以加 $6$ 必须至少引发一次进位，也就是个位数字 $b$ 要满足 $b\ge 4$。

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   看看只进一次位会怎样。 恰好进一次位时，数字和的变化量是 $6-9=-3$，变成 $S-3$。而 $12\mid S$ 与 $12\mid(S-3)$ 不可能同时成立，所以必须进两次位：十位也要跟着满十进一，这就要求十位数字是 $9$。进两次位使数字和变化 $6-9-9=-12$，只要 $S$ 是 $12$ 的倍数，$S-12$ 也一定是。

4. 4

   把条件落到各位数字上。 记 $A=\overline{hab}$，其中 $h\in\{6,7,8\}$，$a=9$，$b\ge 4$。需要 $h+9+b\equiv 0\pmod{12}$，即 $h+b\equiv 3\pmod{12}$，于是 $h+b=15$（在 $h\le 8$、$b\le 9$ 的限制下只有这个值够得着）：

   $(h,b)=(6,9),\ (7,8),\ (8,7).$

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   列出来逐个验证。

   $699\to 6+9+9=24,\quad 705\to 7+0+5=12\ \checkmark$
   $798\to 24,\quad 804\to 12\ \checkmark$
   $897\to 24,\quad 903\to 12\ \checkmark$

   把 $601$ 到 $899$ 整个扫一遍，恰好只有这三个，所以其中任何一个都是合格的答案。