400 的平方根是多少，为什么？说明不用计算器该怎么求。

Step-by-step solution

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   从定义出发。 一个数 $N$ 的平方根，就是自己乘自己恰好得到 $N$ 的那个值。所以求 $\sqrt{400}$ 就是解

   $k\times k=400.$

   这就是这道题的全部内容 —— 下面的一切，只是求出 $k$ 的高效办法。

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   把 400 分解成质因数，再两两配对。 反复做除法可得

   $400=4\times 100=2^{2}\times(2^{2}\times 5^{2})=2^{4}\times 5^{2}.$

   每个指数都是偶数，而这恰好就是 $400$ 是完全平方数的条件。把每个指数取一半：

   $\sqrt{400}=2^{4/2}\times 5^{2/2}=2^{2}\times 5=20.$

   这个办法对任何完全平方数都管用，而且完全不用猜。

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   乘回去检验。 把这个候选答案平方：

   $20\times 20=400 ✓.$

   还有一个好用的核对是末尾零的规律：$400$ 有两个末尾零，所以它的平方根有一个；再由 $\sqrt{4}=2$ 定出首位数字 —— 于是答案就是 $20$。

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   留意符号约定。 $20$ 和 $-20$ 的平方都等于 $400$，但根号 $\sqrt{\ }$ 表示的是算术（非负）平方根，所以 $\sqrt{400}=20$。带正负两个符号的答案 $x=\pm20$ 属于方程 $x^{2}=400$，而不属于表达式 $\sqrt{400}$ —— 这个区别值得分清楚。

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   用夹逼来粗估核对。 既然 $19^{2}=361$、$21^{2}=441$，这个根必定严格落在 $19$ 与 $21$ 之间，而这中间唯一的整数就是 $20$ ✓。像这样上下夹逼，正是估算那些不是完全平方数的数的平方根的办法，比如 $\sqrt{410}\approx 20.25$。