一个三位数的各位数字互不相同，用同样的数字反序写出的数被它减去后得 693。求满足条件的最小三位数。

Step-by-step solution

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   先按数位把两个数写出来。 设各位数字为 $a$（百位）、$b$（十位）、$c$（个位），则这个数是 $100a + 10b + c$，它的反序数是 $100c + 10b + a$。

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   相减，看十位数字如何消失。

   $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a-c)$

   中间那位完全抵消 —— 这类差一定是 $99$ 的倍数，$b$ 对它毫无影响。

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   解出两个数字的差。

   $99(a-c) = 693 \quad\Longrightarrow\quad a - c = \frac{693}{99} = 7$

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   列出所有数字组合，取最小的百位。 在 $a, c \in \{0,\dots,9\}$ 且 $a - c = 7$ 的条件下，可能是 $(a,c) = (7,0), (8,1), (9,2)$。要让整个数最小，百位必须尽可能小，所以取 $a = 7$，$c = 0$。

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   再取允许的最小十位。 这个数形如 $7b0$，而三个数字必须互不相同，所以 $b \ne 7$ 且 $b \ne 0$。剩下的最小选择是 $b = 1$，于是

   $710$

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   验证。 $710$ 的反序数是 $017 = 17$，$710 - 17 = 693$。数字 $7, 1, 0$ 互不相同。任何更小的候选都要求 $a \le 6$，而 $c \ge 0$ 时 $a - c = 7$ 就不可能；至于 $700$，它有重复数字，而 $710$ 是形如 $7b0$ 的下一个数。