求 2706.225166081663 的平方根。

Step-by-step solution

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   用附近的完全平方数把答案夹住。 $52^2 = 2704$，$53^2 = 2809$。由于 $2704 < 2706.225 < 2809$，这个根落在 $52$ 与 $53$ 之间；而且离 $52$ 近得多，因为目标值只比 $2704$ 高出 $2.225$，而这一整段的宽度是 $105$。

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   做一次一阶估算。 在 $x_0 = 52$ 附近，平方函数的斜率是 $2x_0 = 104$，所以平方值上升 $2.225166$，大致对应根上升

   $\frac{2.225166}{104} \approx 0.021396$

   于是估值为 $52.021396$。这恰好就是牛顿法的一步。

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   再做一次牛顿迭代来加密。 迭代公式是 $x_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(x_n + \tfrac{N}{x_n}\right)$，其中 $N = 2706.225166081663$。从 $x_1 = 52.021396$ 出发：

   $\frac{N}{x_1} = 52.021387, \qquad x_2 = \frac{52.021396 + 52.021387}{2} = 52.0213915$

   牛顿法每走一步，正确位数大约翻一倍，所以只再走一趟，六位小数就已经稳定了。

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   写出结果。

   $\sqrt{2706.225166081663} \approx 52.021391$

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   平方回去验证。 $52.021391^2 = 2706.225122$，比目标值少了 $4.45 \times 10^{-5}$ —— 这与根在 $10^{-6}$ 量级上被截断是一致的，因为导数 $2x \approx 104$ 会把这点误差放大约一百倍。多留几位的话，$52.0213914278^2 = 2706.2251660844$，与题给的数在十一位有效数字上吻合。