分数 3/5, 7/11, 11/17, 15/23, … 按同一个规律排列。后面某一项是 A/305，另一项是 1999/B。求 A 与 B 的最大公约数。

Step-by-step solution

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   把分子和分母当成两个独立的数列。 分子：$3,7,11,15,\ldots$，每次加 $4$；分母：$5,11,17,23,\ldots$，每次加 $6$。两者都是等差数列，各有通项公式：

   $\text{分子}_n=3+4(n-1)=4n-1$

   $\text{分母}_n=5+6(n-1)=6n-1$

   取 $n=4$ 抽查一下：$4(4)-1=15$，$6(4)-1=23$ $\checkmark$。

2. 2

   找出分母是 305 的那一项。

   $6n-1=305\ \Longrightarrow\ 6n=306\ \Longrightarrow\ n=51$

   $n$ 算出来是整数，这就确认了 $305$ 确实出现在数列里。它对应的分子是

   $A=4(51)-1=203$

3. 3

   找出分子是 1999 的那一项。

   $4n-1=1999\ \Longrightarrow\ 4n=2000\ \Longrightarrow\ n=500$

   $B=6(500)-1=2999$

4. 4

   别急着假定有公因数，先把两个数分解。

   $203=7\times 29$

   对 $B=2999$，用不超过 $\sqrt{2999}\approx 54.8$ 的每个质数去试除——$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53$——每次都有余数，所以 $2999$ 是质数。

5. 5

   算最大公约数。 既然 $2999$ 是质数，可能的公因数只有 $1$ 和 $2999$ 本身，而 $2999\nmid 203$。用辗转相除法确认：

   $2999=14\times 203+157,\quad 203=1\times 157+46,\quad 157=3\times 46+19$

   $46=2\times 19+8,\quad 19=2\times 8+3,\quad 8=2\times 3+2,\quad 3=1\times 2+1,\quad 2=2\times 1$

   $\gcd(203,2999)=1$

   两个数互质。（很容易想当然地写成 $2999=29\times 103$ 从而答 $29$，但 $29\times 103=2987$，并不是 $2999$——分解完乘回去验一下总是值得的。）