夏令营有 54 名男生和 48 名女生。要把他们分组，使每组男生人数相同、女生人数也相同，且所有人都在某个组里。最多能分成多少组？

Step-by-step solution

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   把条件翻译成整除关系。 如果分成 $g$ 组，每组 $b$ 名男生、$h$ 名女生，那么 $gb=54$、$gh=48$。所以 $g$ 必须同时整除 $54$ 和 $48$——组数是一个公约数，而“分成尽可能多的组”要的就是最大公约数。

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   把两个总数分解质因数。

   $54=2\times 3^3,\qquad 48=2^4\times 3$

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   对每个公共质因数取较小的指数。 两者共有的质因数是 $2$ 与 $3$：

   $\gcd(54,48)=2^{\min(1,4)}\times 3^{\min(3,1)}=2\times 3=6$

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   确认这样分组确实可行。 当 $g=6$ 时，

   $\frac{54}{6}=9\ \text{（每组男生数）},\qquad \frac{48}{6}=8\ \text{（每组女生数）}$

   两个都是整数，而且 $6\times 9=54$、$6\times 8=48$，没有人被剩下。

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   再验证 $7$ 组或更多为什么不可能。 $54$ 的约数是 $1,2,3,6,9,18,27,54$，$48$ 的约数是 $1,2,3,4,6,8,12,16,24,48$。它们的公约数只有 $1,2,3,6$，所以 $6$ 确实是最大的——任何比它更大的数，至少除不尽这两个总数中的一个。交叉验证一下，辗转相除法给出 $54=48+6$，$48=8\times 6+0$，所以 $\gcd=6$。