求一个三位数 A，使得 A 的数字和能被 4 整除，A + 2 的数字和也能被 4 整除，且 200 < A < 400。

Step-by-step solution

1. 1

   先设出一般形式。 由 $200<A<400$ 可知百位数字 $h$ 只能是 $2$ 或 $3$。记 $A=\overline{hab}$，其数字和为 $S=h+a+b$。

2. 2

   弄清加 2 对数字和的影响。

   • 不进位（$b\le 7$）：$S\to S+2$。
   • 个位进位（$b\in\{8,9\}$，$a\le 8$）：个位数字减少 $8$，十位数字增加 $1$，于是 $S\to S-7$。
   • 连续进位（$b\in\{8,9\}$ 且 $a=9$）：十位也跟着翻过去，于是 $S\to S-16$。
3. 3

   排除不进位的情形。 若 $4\mid S$，那么 $S+2$ 除以 4 余 $2$，永远不会是 $0$。所以 $b\in\{8,9\}$ 是被逼出来的。而在只进一位的情形里 $S\to S-7$，$S-7$ 要是 $4$ 的倍数就得有 $S\equiv 3\pmod 4$——这与 $4\mid S$ 矛盾。于是只剩连续进位这一种可能，它还额外要求 $a=9$：此时 $S\to S-16$，自动仍是 $4$ 的倍数。

4. 4

   在 a = 9 的前提下套用数字和条件。 需要 $h+9+b\equiv 0\pmod 4$，且 $b\in\{8,9\}$：

   • $h=2$：$11+b\equiv 0$ 要求 $b=9$，此时 $S=20$；
   • $h=3$：$12+b\equiv 0$ 要求 $b=8$，此时 $S=20$。
5. 5

   列出来逐个验证。

   $299\to 2+9+9=20,\quad 301\to 3+0+1=4\ \checkmark$
   $398\to 3+9+8=20,\quad 400\to 4+0+0=4\ \checkmark$

   对 $201$ 到 $399$ 做穷举扫描，返回的恰好就是这两个数，所以随便填哪一个都算对。