求一个三位数 A，使 A 的各位数字之和能被 5 整除，A + 4 的各位数字之和也能被 5 整除，且 350 < A < 400。

Step-by-step solution

1. 1

   先由取值范围定下百位。 满足 $350<A<400$ 的 $A$ 百位一定是 $3$，所以写成 $A=\overline{3ab}$，其中十位 $a\in\{5,6,7,8,9\}$，个位 $b\in\{0,\ldots,9\}$。数字和为 $S=3+a+b$。

2. 2

   弄清加 4 对数字和有什么影响。 只有两种情形：

   • 若 $b\le 5$，不发生进位，数字和加 $4$：$S\to S+4$。
   • 若 $b\ge 6$，个位溢出、十位加 $1$，数字和的变化量是 $4-10+1=-5$：$S\to S-5$。

   这里正是整道题的关键。若 $5\mid S$，那么 $S+4$ 绝不可能是 $5$ 的倍数，而 $S-5$ 则必定是。

3. 3

   由此断定必须发生进位。 第一种情形被排除，所以必须有 $b\ge 6$；同时为了不让十位也进位，还需要 $a\le 8$（十位若是 $9$，就会一直进到百位，算法又要另说）。

4. 4

   加上数字和的条件。 在 $b\in\{6,7,8,9\}$、$a\in\{5,6,7,8\}$ 的范围内，要求

   $3+a+b\equiv 0\pmod 5.$

   符合的数对是 $(a,b)=(5,7)$ 对应 $S=15$，$(6,6)$ 对应 $S=15$，以及 $(8,9)$ 对应 $S=20$。

5. 5

   列出并逐一验证解。

   $A=357:\ 3+5+7=15,\quad 361\to 3+6+1=10\ \checkmark$
   $A=366:\ 3+6+6=15,\quad 370\to 3+7+0=10\ \checkmark$
   $A=389:\ 3+8+9=20,\quad 393\to 3+9+3=15\ \checkmark$

   把 $351$ 到 $399$ 之间的整数全部暴力枚举一遍，确认就只有这三个。其中任何一个都可以作为本题的答案。