一张海报长 64 cm、宽 36 cm，要剪成同样大小的正方形且不留任何剩余。正方形的边长最大是多少？最少能剪成多少个？

Step-by-step solution

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   把「不留边角料」翻译成整除条件。 设正方形的边长为 $s$，那么两条边上都必须正好排下整数个正方形，也就是 $64$ 和 $36$ 都得是 $s$ 的整数倍：

   $s\mid 64\quad\text{且}\quad s\mid 36$

   换句话说，$s$ 是 $64$ 和 $36$ 的公约数，能取到的最大 $s$ 就是它们的最大公约数。这就是这道题的全部内容 —— 几何只负责提供整除条件。

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   用分解质因数求最大公约数。

   $64=2^6,\qquad 36=2^2\times3^2$

   最大公约数对每个公共质因数取两边指数里较小的那个。质因数 $3$ 只出现在 $36$ 里，贡献不了；质因数 $2$ 的指数分别是 $6$ 和 $2$，于是贡献 $2^2$：

   $\gcd(64,36)=2^2=4$

   所以最大的正方形边长是 $4$ cm。（用辗转相除法更快，结果一样：$64=1\cdot36+28$，$36=1\cdot28+8$，$28=3\cdot8+4$，$8=2\cdot4+0$，最后一个非零余数就是 $4$。）

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   数一数每条边上能排几个。

   $\frac{64}{4}=16\ \text{个（沿长边）},\qquad \frac{36}{4}=9\ \text{个（沿宽边）}$

   两个除法都除得尽，说明这样铺确实不会剩下边角料。

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   相乘得到正方形的总数。

   $16\times9=144\ \text{个正方形}$

   用面积核对一下：海报面积是 $64\times36=2304$ cm²，每个正方形是 $4\times4=16$ cm²，$2304\div16=144$。✓ 两种数法必然一致，因为这些小块恰好把整张纸铺满。

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   说明为什么正方形越大、块数反而越少。 块数是 $\dfrac{2304}{s^2}$，$s$ 越大它越小。所以「边长最大」和「块数最少」其实是同一个问题问了两遍 —— 两问都由 $\gcd(64,36)=4$ 这一个数来回答。取更小的公约数当然也能铺满，只是白白多剪几刀：$s=2$ 要剪 $576$ 个，$s=1$ 要剪 $2304$ 个。