计算：(a) (8^(1/3) × 0.333… − 30^(−1)) / (3^(1/2) × 3^(1.5/3) − 1/15)；(b) (2.1333… / (5^(−3) + 1/3))^(−3/2)。结果用精确分数表示。

Step-by-step solution

1. 1

   先把所有循环小数化成分数，再去碰指数。 对纯循环小数，设 $x=0.333\ldots$，则 $10x=3.333\ldots$，两式相减得 $9x=3$，所以 $x=\frac39=\frac13$。两种写法是同一个数 —— $\frac39$ 只是没有约到最简。

   $2.133\ldots$ 的循环节是从一位固定数字之后才开始的，所以要用两个倍数：设 $y=0.1333\ldots$，则 $100y-10y=13.33\ldots-1.33\ldots=12$，得 $y=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$，于是

   $2.133\ldots=2+\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$

   提醒一个非常常见的坑：$0.0333\ldots=\frac{1}{30}$，而不是 $\frac{3}{9}$。循环节整体右移一位，值就要除以 $10$。

2. 2

   化简 (a) 里的分数指数。 $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$；又因为 $1{,}5=\frac32$，所以 $\frac{1{,}5}{3}=\frac12$，于是

   $3^{\frac12}\times3^{\frac12}=3^{\frac12+\frac12}=3^{1}=3$

   同底数幂相乘、指数相加，正是这个分母能塌缩成整数的原因。

3. 3

   把 (a) 的分子和分母分开算。

   $\text{分子}=2\cdot\frac13-\frac{1}{30}=\frac{20}{30}-\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$

   $\text{分母}=3-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}-\frac{1}{15}=\frac{44}{15}$

   $\frac{19/30}{44/15}=\frac{19}{30}\times\frac{15}{44}=\frac{19}{2\cdot44}=\frac{19}{88}$

4. 4

   拼出 (b) 里面那个分数。 由 $5^{-3}=\frac{1}{125}$，

   $5^{-3}+\frac13=\frac{3}{375}+\frac{125}{375}=\frac{128}{375}$

   $\frac{32/15}{128/375}=\frac{32}{15}\times\frac{375}{128}=\frac{32\times25}{128}=\frac{25}{4}$

   题目里的数字是特意挑过的，结果正好落在「完全平方数比完全平方数」上，这就是下一步的提示。

5. 5

   处理负的分数指数。 负指数把分数上下翻转，指数 $\frac32$ 表示「先开平方，再立方」：

   $\left(\frac{25}{4}\right)^{-\frac32}=\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac32}=\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right]^{\frac32}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

6. 6

   把两个答案都化成小数核对。 $\frac{19}{88}=0.2159\ldots$，直接算 $\frac{0.6333}{2.9333}=0.2159$。(b) 这边 $\frac{8}{125}=0.064$，而 $6.25^{-1.5}=0.064$。两个都对得上。