把一个是 5 的倍数的四位数，各个数位上的数字反过来写，得到另一个四位数。用原数减去这个反序数，差是 1458。求出一个满足条件的原数。

Step-by-step solution

1. 1

   把两个数都按数位展开写出来。 设各数位上的数字为 $a,b,c,d$，则原数为

   $N=1000a+100b+10c+d,\qquad a\neq 0$

   反序数为

   $N'=1000d+100c+10b+a$

   把「数字反写」这句话翻译成算式，就是整道题的关键；后面全是常规运算。

2. 2

   用两个条件同时确定末位数字。 能被 $5$ 整除意味着 $d\in\{0,5\}$。但反序数也必须是四位数，所以它的首位 $d$ 不能是 $0$。因此

   $d=5$

   这一步决定了整道题：若 $d=0$，反序之后就至多只剩三位数了。

3. 3

   相减并化简。

   $N-N'=1000a+100b+10c+5-(5000+100c+10b+a)$

   $=999a+90b-90c-4995$

   令它等于 $1458$，把常数移到另一边：

   $999a+90(b-c)=1458+4995=6453$

4. 4

   对一位数 $a$ 逐个枚举，并允许 $b-c$ 取负值。 $90(b-c)$ 的取值范围是从 $-810$ 到 $810$，所以 $999a$ 必须落在 $6453$ 上下 $810$ 的范围内：只有 $a=7$ 合格（$999\cdot 7=6993$，而 $999\cdot 6=5994$ 距离 $6453$ 还差 $459$，$459$ 并不是 $90$ 的倍数）。取 $a=7$：

   $6993+90(b-c)=6453\quad\Longrightarrow\quad 90(b-c)=-540\quad\Longrightarrow\quad b-c=-6$

   注意这里的 $b-c$ 是负数。只试非负的差，正是让这道题看起来无解的那个陷阱。

5. 5

   列出所有的数，任取其一。 满足 $b-c=-6$ 的数字组合有 $(b,c)\in\{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)\}$，对应的数是

   $7065,\quad 7175,\quad 7285,\quad 7395$

   其中任何一个都能回答问题；最小的是

   $\boxed{7065}$

6. 6

   验证。 $7065$ 的末位是 $5$，所以能被 $5$ 整除。反序后得到四位数 $5607$，而

   $7065-5607=1458$

   正合要求。用同样的方法，若把右边换成 $1359$，则有 $999a+90(b-c)=6354$，即 $a=6$、$b-c=4$，其中最小的解是 $6405$。