设 X = {5, 6, ..., 200}，X 中有多少个元素能被 2 或被 5 整除？

Step-by-step solution

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   选用容斥原理，并把“或”理解成可以兼有。 设 $A$ 是 $X$ 中 $2$ 的倍数，$B$ 是其中 $5$ 的倍数。“能被 $2$ 或 $5$ 整除”指的就是 $A\cup B$，而

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   那个减号很关键：像 $10$、$20$、$30$ 这样的数同时出现在两张表里，不能重复计数。

2. 2

   数 2 的倍数。 用 $\big\lfloor \tfrac{200}{2}\big\rfloor-\big\lfloor \tfrac{4}{2}\big\rfloor$——即 $200$ 以内的倍数减去 $4$ 以内的倍数（也就是范围起点之前的那些）：

   $|A|=100-2=98$

   （被排除的是 $2$ 和 $4$；剩下的一串是 $6,8,\ldots,200$。）

3. 3

   数 5 的倍数。

   $|B|=\left\lfloor\frac{200}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{5}\right\rfloor=40-0=40$

   （这一串是 $5,10,\ldots,200$，而 $5$ 本身就落在范围内。）

4. 4

   数重叠的部分。 同时被 $2$ 和 $5$ 整除的数，就是被 $\operatorname{lcm}(2,5)=10$ 整除的数：

   $|A\cap B|=\left\lfloor\frac{200}{10}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{10}\right\rfloor=20-0=20$

5. 5

   代入公式。

   $|A\cup B|=98+40-20=118$

   $\boxed{118}$

6. 6

   用补集交叉验证。 集合 $X$ 共有 $200-5+1=196$ 个元素。在连续 $10$ 个整数里，与 $10$ 互素的有 $4$ 个（末位是 $1,3,7,9$ 的那些）；从 $5$ 到 $200$ 有 $19$ 个完整的十位段 $11$–$200$，再减去……更直接地说，$5$ 到 $200$ 之间末位为 $1,3,7,9$ 的数共有 $78$ 个（先是 $7,9$ 这两个，再加上 $11$–$200$ 这 $19$ 段每段 $4$ 个：$2+4\times 19=78$）。于是 $196-78=118$，与前面吻合。