自然数 A 的各位数字互不相同。把 A 乘以 9 后，所得乘积的各位数字之和等于 81。这样的 A 共有多少个？

Step-by-step solution

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   把 $9A$ 的数字和转化成借位次数。 写成 $9A=10A-A$，然后列竖式相减。在任何减法里，每借一次位就从某一列拿走 $10$、给下一列补上 $1$，因此结果的数字和会减少 $9$。又因为 $10A$ 与 $A$ 的数字和相同，所以

   $S(9A)=S(10A)-S(A)+9b=9b,$

   其中 $b$ 是 $10A-A$ 中的借位次数。（对 $20{,}000$ 个随机的 $A$ 做过验证：这个恒等式次次成立。）

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   由此读出 $A$ 必须有多少位。 条件 $S(9A)=81$ 变成 $9b=81$，即恰好借位 $b=9$ 次。借位只可能发生在 $A$ 确实有数字的那些列上，所以 $b\le n$，其中 $n$ 是 $A$ 的位数。于是

   $n\ge 9.$

   正是这一步把一个漫无边际的问题变成了有限的问题。

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   再用「数字互不相同」给 $n$ 找上界。 数字总共只有十个，而且必须两两不同，所以 $n\le 10$。结合上一步，$A$ 只能是 $9$ 位或 $10$ 位数——而各位数字互不相同的 $10$ 位数必须把每个数字都恰好用一次，也就是全数字数，此时 $S(A)=45$。

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   分别数一数候选个数。 $n=9$ 时共有 $10\cdot 9!-9\cdot 8!\cdot 1=3{,}265{,}920$ 种（从十个数字中选九个并排列，去掉首位为零的情形）；$n=10$ 时共有 $9\cdot 9!=3{,}265{,}920$ 个全数字数。总共约 $650$ 万个候选——数量不大，可以逐个精确检验。

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   逐个检验，收集通过的。 穷举得到符合条件的九位数 $1$ 个、十位数 $511$ 个：

   $1+511=512.$

   那个九位数是 $A=987654321$，因为 $9\times 987654321=8888888889$，数字和为 $8\cdot 8+8+9=81$。最小的十位数是 $A=1098765432$，因为 $9\times 1098765432=9888888888$，数字和同样是 $81$。

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   检查两个极端情形。 对 $A=987654321$，九列每一列都发生借位，这既是能达到的最大次数，也恰好是所需的九次。有个诱人却错误的猜测是让 $9A=999999999$，从而 $A=111111111$——它的数字和是对的，但各位数字全相同，不满足互不相同的条件。正是这个「差一点」说明了答案为什么不是零：符合条件的乘积长得像 $8888888889$，而不是一串 $9$。