化简 √72。

Step-by-step solution

1. 1

   先找最大的完全平方因数。 $72$ 以内的完全平方数有 $4,9,16,25,36,49,64$。从大往小试，$36$ 能整除 $72$：

   $72=36\times 2$

   从最大的平方数入手能省事；先用 $4$ 只会得到 $2\sqrt{18}$，还要再化一轮。

2. 2

   把根号按乘积拆开。 对非负的 $a,b$ 有 $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$：

   $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=\sqrt{36}\cdot\sqrt2$

3. 3

   算出完全平方那一部分。

   $\sqrt{36}=6\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{72}=6\sqrt2$

4. 4

   确认根号里已经没有平方因数。 $2$ 是质数，再没有平方因数可提，式子已经彻底化简。用质因数分解看也一样：$72=2^3\cdot 3^2$，每一对相同的质因数往外提一个 —— $3^2$ 提出一个 $3$，一对 $2$ 提出一个 $2$，合起来是 $6$，根号里只剩一个 $2$。

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   数值检验。 $6\sqrt2\approx 6\times 1.4142136=8.4852816$，再平方回去得 $72.000$ $\checkmark$。