计算 10 的 0.2 次方。

Step-by-step solution

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   把小数指数化成分数。 指数运算法则都是按分数写的，所以先把 $0.2$ 改写成分数：

   $0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

   约到 $\tfrac15$ 很关键 —— 它露出了一个分子为 1 的分数，对应的正是一个纯粹的方根，不带额外的乘方。

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   用分数指数法则。 对正的底数有 $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$，所以

   $10^{0.2}=10^{1/5}=\sqrt[5]{10}$

   这就是精确值：五次方等于 $10$ 的那个数。

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   先估个范围，再动手算。 因为 $1^{5}=1$、$2^{5}=32$，所以答案落在 $1$ 和 $2$ 之间；又因为 $1.5^{5}\approx7.6$ 已经很接近 $10$，所以它离 $1.5$ 比离 $2$ 近得多。有了这个范围，就不会犯大错。

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   写出小数值。

   $\sqrt[5]{10}\approx1.5848932$

   乘方回去检验：$1.5848932^{5}=10.000000$ ✓，七位有效数字全对；而且 $10^{0.2}$ 与 $10^{1/5}$ 两种算法在机器精度内完全一致 ✓。

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   说说这个常数会在哪里出现。 $10^{0.2}$ 是声学里相邻两个三分之一倍频程的频率之比；它的平方根 $10^{1/10}\approx1.2589$ 则是功率变化 1 分贝所对应的倍数。还有一点值得记住：$\left(10^{0.2}\right)^{5}=10^{1}=10$，也就是五个这样的因子相乘，正好跨过一个整数量级。