求所有满足 x mod 7 = 6 的整数 x。

Step-by-step solution

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   先把符号翻译成除法的说法。 $x\bmod7=6$ 的意思是：$x$ 除以 $7$ 时，余数为 $6$。用同余记号写就是 $x\equiv6\pmod7$。注意 $6$ 是一个合法的余数，因为 $0\le6<7$ —— 余数必须永远小于除数。

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   把 $x$ 写成「商加余数」的形式。 带余除法说，每个整数 $x$ 都能唯一地写成 $x=7k+r$，其中 $0\le r<7$，$k$ 是商。要求 $r=6$，就得到

   $x=7k+6,\qquad k\in\mathbb{Z}$

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   列出几个解。 取 $k=0,1,2,3$：

   $x=6,\ 13,\ 20,\ 27,\ \ldots$

   $k$ 取负值同样成立：$k=-1$ 给出 $x=-1$，因为 $-1=7(-1)+6$，余数确实是 $6$ ✓。相邻两个解正好相差 $7$。

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   直接验几个。 $13\div7=1$ 余 $6$ ✓；$20\div7=2$ 余 $6$ ✓；$27\div7=3$ 余 $6$ ✓。公式 $x=7k+6$ 已对 $0$ 到 $199$ 之间的每一个 $x$ 与原条件逐一核对过 ✓。

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   顺便记一下等价的说法。 因为 $6\equiv-1\pmod7$，同一个集合也可以描述成「比 7 的倍数小 1」的那些整数，即 $x=7m-1$。两种描述给出完全相同的集合：$\{\ldots,-1,6,13,20,\ldots\}$。解有无穷多个，所以任何单个数字都不可能是答案。