求能被 45 整除的最大六位回文数。

Step-by-step solution

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   先写出一般的六位回文数。 它的数位形式是 $abccba$，即

   $N=\overline{abccba},\qquad a\neq 0$

   真正自由的只有 $a$、$b$、$c$ 三个数字，而不是六个。

2. 2

   把 45 拆成互质的两个因数。 因为 $45=9\times 5$ 且 $\gcd(9,5)=1$，这个数必须既能被 $9$ 整除、又能被 $5$ 整除。这就给出两个彼此独立的数位条件。

3. 3

   用被 5 整除的条件定住 $a$。 末位必须是 $0$ 或 $5$。而回文数的末位等于首位，六位数的首位又不能是 $0$。因此

   $a=5,\qquad N=\overline{5bcc b5}$

4. 4

   用被 9 整除的条件约束 $b+c$。 各位数字之和是

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c=2(b+c+5)$

   它必须是 $9$ 的倍数。由于 $\gcd(2,9)=1$，那个因子 $2$ 可以约掉：

   $b+c+5\equiv 0\pmod 9\ \Longrightarrow\ b+c\equiv 4\pmod 9$

   所以 $b+c=4$ 或 $b+c=13$（两个数字能凑出来的只有这两个值）。

5. 5

   从高位起把位值取到最大。 $a$ 已经定成 $5$，接下来最高位的自由数字是 $b$，所以取 $b=9$。这时 $c\equiv 4-9\equiv 4\pmod 9$ 要求 $b+c=13$，于是 $c=4$：

   $N=594495$

6. 6

   把两个整除条件都验证一遍。 数字和：$5+9+4+4+9+5=36$，而 $36=4\times 9$ $\checkmark$。末位是 $5$ $\checkmark$。直接算：

   $594495\div 45=13211\quad\checkmark$

   再从大到小把六位回文数扫一遍，确认没有更大的能满足条件，所以答案就是 $594495$。