填空：99 = ? × ? × ?

Step-by-step solution

1. 1

   按顺序试一遍小质数。 $99$ 是奇数，所以 $2$ 排除。各位数字之和为 $9+9=18$，是 $9$ 的倍数，所以 $99$ 既能被 $3$ 整除也能被 $9$ 整除：

   $99\div9=11$

   于是先拆成两个因数 $99=9\times11$。正是「数字和判断能否被 3 整除」这个法子，让我们不用逐个试除就立刻看出结果。

2. 2

   把还是合数的因数继续拆。 $11$ 是质数（不能被 $2$、$3$ 或任何不超过 $\sqrt{11}\approx3.3$ 的质数整除），而 $9$ 不是：

   $9=3\times3$

3. 3

   拼出三个因数的乘积。

   $99=3\times3\times11$

   检验：$3\times3=9$，$9\times11=99$ ✓。这就是它的质因数分解，通常写作 $99=3^{2}\times11$。

4. 4

   说明这实质上是唯一的答案。 由唯一分解定理，$99$ 的质因数恰好就是 $3,3,11$，所以任何不用 $1$ 的三因数乘积都只能是它们的重新排列。写成 $99=1\times9\times11$ 从字面上说也是三个因数，但拿 $1$ 来凑数没有任何意义——题目要的是三个大于 $1$ 的因数。

5. 5

   列出所有约数来交叉验证。 由 $3^{2}\times11$ 可知约数是 $1,3,9,11,33,99$——一共六个，与由指数推出的个数 $(2+1)(1+1)=6$ 吻合。每个约数都能配成一对：$1\times99$、$3\times33$、$9\times11$ ✓。