求 1595.69 的平方根。

Step-by-step solution

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   先用两个整数把答案夹住。 由于 $39^2=1521$、$40^2=1600$，而 $1595.69$ 落在两者之间 —— 而且离 $1600$ 近得多 —— 所以这个根略小于 $40$。

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   利用与 40 的差值来细化。 把根写成 $40-d$。那么 $(40-d)^2=1600-80d+d^2$，我们需要它等于 $1595.69$，也就是 $80d-d^2=4.31$。忽略极小的 $d^2$，得 $d\approx\tfrac{4.31}{80}=0.0539$，于是根约为 $40-0.0539=39.946$。

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   用精确的平方值夹到两位小数。 仔细计算，用 $(40-t)^2=1600-80t+t^2$：

   $39.94^2=1600-4.8+0.0036=1595.2036,\qquad 39.95^2=1600-4+0.0025=1596.0025$

   由于 $1595.2036<1595.69<1596.0025$，这个根落在 $39.94$ 与 $39.95$ 之间。

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   纠正一个经常被抄错的夹逼区间。 有些解答里把 $39.95^2$ 写成 $1595.0025$、把 $39.96^2$ 写成 $1595.8016$ —— 每个都正好小了 $1$。真值是 $1596.0025$ 和 $1596.8016$，这也正是为什么正确的区间是 $[39.94,39.95]$ 而不是 $[39.95,39.96]$。

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   给出保留四位小数的值。

   $\sqrt{1595.69}=39.9460887\ldots\approx39.9461$

   它确实落在纠正后的区间里 ✓，也与第 2 步的线性估计 $39.946$ 相符 ✓。

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   平方回去验算。 $39.9461^2=1595.6909$，只比 $1595.69$ 多了 $0.0009$；而 $39.946^2=1595.6829$，少了 $0.0071$。所以四位小数下 $39.9461$ 是更好的取整 ✓。这个值是无理数，因为 $\sqrt{1595.69}=\tfrac{\sqrt{159569}}{10}$，而 $159569$ 是质数，当然不可能是完全平方数，所以不存在精确的小数表示。