计算 4^2^2^2 − 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先把运算方向定死——它会直接改变答案。 叠起来的指数是右结合的：$a^{b^{c}}$ 表示 $a^{(b^{c})}$，绝不是 $(a^{b})^{c}$。这里若从左往右读，会得到 $((4^{2})^{2})^{2}=4^{8}=65536$，与正确答案差了五个数量级。所以要从塔顶往下算。

2. 2

   先把塔顶收掉。

   $2^{2}=4,\qquad\text{然后}\qquad 2^{2^{2}}=2^{4}=16$

   于是底数 $4$ 的指数是 $16$，整个式子变成 $4^{16}-1$。

3. 3

   把底数改写成 2 的幂，让数字更好摆弄。 因为 $4=2^{2}$，按幂的乘方法则指数相乘：

   $4^{16}=\left(2^{2}\right)^{16}=2^{32}=4\,294\,967\,296$

   认出 $2^{32}$ 就是这道题的捷径——它是个大家都眼熟的常数，不必真去做长乘法。

4. 4

   减去 1。 这个减法作用在整个幂上，而不是作用在指数上：

   $4^{16}-1=4\,294\,967\,296-1=4\,294\,967\,295$

5. 5

   精确验证。 用 Python 的任意精度整数算得 $4^{(2^{(2^{2})})}-1=4294967295$ ✓，$2^{32}=4294967296$ ✓。再从结构上看，$2^{32}-1$ 正是 32 位无符号整数的最大值，而且能分解成 $(2^{16}-1)(2^{16}+1)=65535\times65537$——又是一次平方差。