找一个四位数，它是 12 的倍数，且各位数字之积大于 25 而小于 30。给出其中任意一个即可。

Step-by-step solution

1. 1

   先把数字之积的可能取值缩小。 乘积只能是 $26$、$27$、$28$ 或 $29$。逐个检验它能否写成四个 $1$ 到 $9$ 的数字之积（只要有一位是 $0$，乘积就变成 $0$）：

   $26=2\times 13\ \text{— 需要因数 }13,\ \text{不可能}$

   $29\ \text{是质数且}>9,\ \text{不可能}$

   $27=3^3=1\times 3\times 3\times 3\ \text{— 原则上可行}$

   $28=2^2\times 7=1\times 2\times 2\times 7\ \text{或}\ 1\times 1\times 4\times 7\ \text{— 可行}$

2. 2

   回忆被 12 整除需要什么。 由于 $12=4\times 3$ 且 $\gcd(4,3)=1$，这个数必须同时被两者整除：

   $\text{末两位组成的数是 }4\text{ 的倍数},\qquad \text{各位数字之和是 }3\text{ 的倍数}$

3. 3

   排除乘积为 27 的情形。 它唯一的数字组合是 $\{1,3,3,3\}$，数字和为 $10$——不是 $3$ 的倍数，所以怎么排都不能被 $3$ 整除，更别说被 $12$ 整除了。于是只剩乘积为 $28$ 的情形。

4. 4

   处理乘积为 28 的那两组数字。 对 $\{1,2,2,7\}$，数字和是 $12$，是 $3$ 的倍数 $\checkmark$，所以只剩被 $4$ 整除这一条要满足。对 $\{1,1,4,7\}$，数字和是 $13$，不是 $3$ 的倍数，这组出局。把 $1,2,2,7$ 排成末两位是 $4$ 的倍数（即 $12$ 或 $72$），就得到完整的解集：

   $1272,\quad 2172,\quad 2712,\quad 7212$

5. 5

   把其中一个答案完整验证一遍。 取 $N=1272$：

   $1272\div 12=106\quad\checkmark$

   $1\times 2\times 7\times 2=28,\qquad 25<28<30\quad\checkmark$

   对所有四位的 $12$ 的倍数做穷举搜索，可以确认这四个数就是全部的解，所以给出其中任意一个都算对。