卡在這題？用 AI 解開它

Arithmetic questions asked by real students

Real arithmetic questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

用平方差公式計算 32² − 28²：答案是 240

答案是 240。不必分別算兩個平方，直接套 a² − b² = (a − b)(a + b)：差 4 乘以和 60，一行就得到 240。

直式計算 1,197,481.24 + 421,496.81：答案 1,618,978.05

答案是 1,618,978.05。先對齊小數點，把百分位相加（24 + 81 = 105）進位一個整數，再算整數部分 1,197,481 + 421,496 + 1。

31 到 39 之間是偶數、除以 3 又餘 1 的人數是 34

社團有 34 人。兩人一排沒有剩下代表人數是偶數，三人一組剩 1 人代表除以 3 餘 1；範圍內同時符合的只有 34。

填出含負數的 4×4 魔方陣

魔術常數是 10，直接從沒有空格的主對角線 −5 + 0 + 5 + 10 讀出來。接著逐格補：第 1 列 8、−2，第 2 列 6 與 3，然後 4，再 −3 與 −4。

計算 0.6 × 963 − 402.8：先乘後減，答案是 175

答案是 175。依運算順序先算乘法 0.6 × 963 = 577.8，再減 402.8；兩數的十分位都是 8，小數部分剛好抵消成整數。

4.7 公克換算成奈克：等於 4,700,000,000 ng

答案：4.7 g = 4.7 × 10⁹ ng = 4,700,000,000 ng。1 奈克等於 10⁻⁹ 公克，所以換成更小的單位是乘以 10⁹，而不是除。

4.7 mg 等於多少 kg：跨兩級字首的 10⁻⁶ 換算

4.7 mg = 4.7 × 10⁻⁶ kg = 0.0000047 kg。毫是 10⁻³ 公克，而 1 公克又是 10⁻³ 公斤，兩級字首相乘剛好合成一個 10⁻⁶ 的換算因子。

5.5 公斤等於多少盎司：用精確換算因子算出約 194.01 oz

答案約為 194.01 盎司。1 公斤 = 16/0.45359237 = 35.27396195 盎司，把 5.5 乘上這個因子恰好得到 194.006790725 盎司。

75 m/s 換算成 km/h：用因次分析乘以 3.6 得 270

答案是 270 km/h。先除以每公里 1000 公尺、再乘以每小時 3600 秒，兩個精確因子合起來剛好是乘以 3.6，所以 75 × 3.6 = 270。

92 英尺／分鐘換算成公尺／秒：答案 0.46736 m/s

答案是 0.46736 m/s。每英尺乘 0.3048 公尺，每分鐘除以 60 秒：92 × 0.3048 / 60，英尺與分鐘作為單位被約掉，方向由約分決定而不是靠猜。

1305 美元／公噸換算成泰銖／公升：約 38.77 泰銖

答案約為 38.77 泰銖每公升。密度負責把質量換成體積，換算鏈是美元/公噸 → 美元/公斤 → 美元/公升 → 泰銖/公升，每一步只做一次乘除。

199 除以 15：商是 13，餘數是 4

199 ÷ 15 = 13 餘 4，寫成帶分數是 13 又 4/15，寫成小數是 13.2666…。因為 15 除不進 19，直式只要兩步就算完。

3/5 除以 2/3 的完整步驟：答案是 9/10

商是 9/10。除以一個分數就是乘它的倒數，所以 3/5 ÷ 2/3 變成 3/5 × 3/2，算出來就是 9/10。

31 ÷ 6.25 怎麼算：把除數化成分數 25/4，商是 4.96

商是 4.96。先把 6.25 寫成 25/4，除以 25/4 就變成乘 4/25，得 124/25 = 4.96，整個過程一次直式都不必列。

43.782 ÷ 6 怎麼算：當整數除，再把小數點落回原位，商 7.297

商是 7.297。除數 6 本來就是整數，所以按 43782 ÷ 6 = 7297 當整數除即可，小數點保持在同一直行，最後再乘回去驗算。

計算 0.4 × 0.75 ÷ 0.5：同級由左往右算，答案 0.6

答案是 3/5 = 0.6。乘法與除法同一優先順序，所以由左往右算：0.4 × 0.75 = 0.3，再 0.3 ÷ 0.5 = 0.6。

計算 (0.02)² × (0.03)³：用數小數位數得 1.08 × 10⁻⁸

數字部分 4 × 27 = 108，小數位數 4 + 6 = 10 位，所以結果是 0.0000000108，寫成科學記號就是 1.08 × 10⁻⁸。

計算 0.4 × 0.75 + 0.5：先乘後加，答案是 0.8

答案是 0.8。運算順序要求先算乘法 0.4 × 0.75 = 0.3，之後才把 0.5 加上去得 0.8；若誤讀成先加，就會算成 0.5。

計算 1 − (0.3/1.54)：精確值是 62/77

答案是 62/77，約 0.80519。先去掉小數得 30/154，約成 15/77，再把 1 寫成 77/77 相減 —— 全程不必四捨五入。

10 的 0.2 次方是多少：就是 10 的五次方根，約 1.58489

答案是 10 的五次方根，約等於 1.58489。小數指數 0.2 就是分數 1/5，而分子為 1 的分數指數一律代表一個純粹的方根。

10 的 −2 次方等於多少：分數是 1/100，小數是 0.01

答案是 1/100，也就是 0.01。負指數代表取倒數，所以 10 的 −2 次方就是 1 除以 10 的平方，結果根本不是負數。

計算 100 − 15 × 2 + (−204) ÷ 3：先乘除後加減，答案是 2

值是 2。乘法與除法先算 —— 15 × 2 = 30、−204 ÷ 3 = −68 —— 剩下 100 − 30 − 68，再由左往右算完。

計算 {2.7 − (0.7 − 3)} ÷ (−1/5)：答案是 −25

先算最內層括號：0.7 − 3 = −2.3，於是大括號裡是 2.7 + 2.3 = 5。除以 −1/5 就是乘以 −5，結果為 −25。

計算 (216 · 6⁻⁵)³ · (36⁻²)⁻¹：統一底數後得 1/36

把每個數都改寫成 6 的次方：216 = 6³、36 = 6²。整個式子變成 6⁻⁶ × 6⁴ = 6⁻² = 1/36，全程不必算大數。

逐步計算 4 − 3 − (−2) − [12 − 3 + 4]：答案是 −10

答案是 −10。先算中括號得到 13，再把雙重負號化成 +2，最後把 4 − 3 + 2 − 13 嚴格由左往右算完。

計算 (4.135 + 12.896) − (2 − 0.1415) = 15.1725

先把兩個括號各自算出來：17.031 與 1.8585。第二個括號裡的減法是關鍵，它讓答案比隨手寫的 17.031 − 2 還要大一點。

冪塔 4^2^2^2 − 1 正確算法：答案是 4294967295

答案是 4294967295。冪塔要由右往左（也就是由上往下）算：先 2^2^2 = 16，再 4^16 = 2^32 = 4294967296，最後減 1。

按運算順序計算 5 − [−2 + 5] − (−3) + 2：答案是 7

值是 7。先化簡中括號，−2 + 5 = 3；再把「減去一個負數」− (−3) 改寫成 + 3；最後由左往右算：5 − 3 + 3 + 2 = 7。

按運算順序計算 50 + 50 ÷ 5 − 5!：答案是 −60

答案是 −60。階乘 5! = 120 與除法 50 ÷ 5 = 10 都要先算，最後的加減再由左往右做；除號只作用在第二個 50 上。

計算 7.7 × 0.18 ÷ 1.16：精確結果是 693/580

答案是 693/580 ≈ 1.1948。先乘得 1.386，再把小數化整，除法變成 1386/1160，約去 2 得到 693/580。

a = 2148、b = 4 時，(7012 − a) ÷ b 的值是 1216

(7012 − 2148) ÷ 4 = 4864 ÷ 4 = 1216。括號要在除法之前算完，再用 1216 乘以 4 得回 4864，兩步都獲得驗證。

計算 (8.25 + 0.498)/(1 − 0.498)：四位小數為 17.4263

值約為 17.4263。分子是 8.748、分母是 0.502，先化成精確分數 4374/251，再四捨五入到四位小數。

計算 (8.25 + 0.544)/(1 − 0.544)：四捨五入到小數第四位是 19.2851

答案約為 19.2851。分子相加得 8.794，分母相減得 0.456，相除的精確值是分數 4397/228，最後才取近似到小數第四位。

計算指數式 8² × 3：先平方再乘，答案是 192

答案是 192。指數只作用在 8 上，所以先算 8² 得 64，再乘以 3；若誤讀成 (8 × 3)² 會算成 576。

計算 (1/0.02272 × 4)(500/75)(5000/590)：不提早捨入得 9946.69

乘積約為 9946.69。把 500/75 與 5000/590 保留成精確分數，就能避開提早四捨五入的誤差累積，否則會得到錯誤的 9946.77。

計算 [(2/3 − 1/2) ÷ 1/30] × (−2 × 1/10)：答案是 −1

答案是 −1。中括號內通分得 1/6，除以 1/30 就是乘以 30 得 5；第二個括號是 −1/5，兩者相乘剛好抵成 −1。

計算 (17 的立方根 + 10π)/(e⁵ + 90)：約等於 0.1426

答案約為 0.14256。把立方根、10π 與 e⁵ 各自先算到小數第五位，捨入誤差就傳不到商的第四位小數。

代入 m = 776、n = 90、p = 4 計算 (m + n) × p：答案是 3464

答案是 3464。先算括號內的 776 + 90 = 866，再乘以 p = 4；用分配律驗算 776 × 4 + 90 × 4 = 3104 + 360 = 3464，兩條路線一致。

計算 −2² ÷ (−3/4)² ÷ 2³：負號沒被平方，答案是 −8/9

答案是 −8/9。沒有括號的 −2² 表示 −(2²) = −4，而 (−3/4)² = 9/16 是正的；由左往右依序做除法得 −4 × 16/9 ÷ 8 = −8/9。

當 m = 2/5 時計算 −(5/6)m − 3/4：帶分數是 −1 又 1/12

答案是 −1 又 1/12。−5/6 乘 2/5 時兩個 5 先約掉，只剩 −1/3；再和 −3/4 通分到分母 12 相加，得到 −13/12。

化簡 (−1000) ÷ 25 × (−2)：由左往右算得 80，不是 20

答案是 80。乘法與除法優先級相同，必須嚴格由左往右：先算 −1000 ÷ 25 = −40，再算 −40 × (−2) = 80，負負得正。

當 c = −12 時計算 −c + 5/6：負負得正，答案是 77/6

答案是 77/6，也就是 12 又 5/6。因為 c 本身是負的，−c 變成 +12，所以式子其實是 12 + 5/6，而不是許多人寫的 −12 又 5/6。

計算 1/16 − 5 × 1/4 + 5：通分之後答案是 61/16

答案是 61/16，也就是 3.8125。先做乘法得 5/4，再把 5/4 寫成 20/16、把 5 寫成 80/16，分子合併成 (1 − 20 + 80)/16 = 61/16。

計算 |−8 − 5|：先算絕對值裡面，答案是 13

答案是 13。運算順序要求先把絕對值符號裡的減法算完得到 −13，再取絕對值得到 13；拆成 |−8| − |5| 是錯的。

計算 (2/5)(−209/7) + 1041 + 4/5：合併成單一分數 7209/7

答案是 7209/7，約等於 1029.857。先相乘得 −418/35，與 4/5 = 28/35 合併成 −78/7，再從寫成 7287/7 的 1041 裡減掉它。

由 |11 − 12| = x 求 x：不必分情況討論，x = 1

答案是 x = 1。未知數落在絕對值符號外面，所以這題純粹是求值：先算 11 − 12 = −1，再取它到 0 的距離。

展開並化簡 √2(√7 + 6√72)：答案是 72 + √14

答案是 72 + √14。分配之後得到 √14 與 6√144；因為 2 × 72 = 144 是完全平方數，第二項化成有理數 72。

先給三分之一，再給剩下的一半：求總面積

總面積是 600 平方公尺。剩下三分之二的一半也剛好是三分之一，所以最後一份同樣是全部的三分之一——而它等於 200。

七題右邊是次方式的方程式：x 依序是 2、161、13、21、3、14、11

七個解依序是 x = 2、161、13、21、3、14、11。先把右邊的次方化成一個數，再一層一層把左邊的運算還原回去。

計算 100000 × 32/(4 ln 2 + 3) 的高斯符號：答案是 554344

答案是 554344。商等於 554344.0134，只比整數多一點點，所以 ln 2 必須取到十位以上，取下高斯符號才安全。

四位數的 12 倍數且數字乘積介於 25 與 30：1272 等四個數

1272 是一個答案，完整清單是 1272、2172、2712、7212。數字乘積只能是 28 = 1 × 2 × 7 × 2，因為 26、27、29 都湊不出四個數字。

四位數的 5 倍數減去反序數等於 1458

7065 就符合：7065 − 5607 = 1458。個位必為 5，位值展開後條件變成 999a + 90(b − c) = 6453，解得 a = 7、b − c = −6。

四位數的 5 倍數減去倒序數等於 1359：6405 等六個數

6405 是一個答案，另外還有 6515、6625、6735、6845、6955。差恆等於 999(a − d) + 90(b − c)，這就釘死了 a − d = 1、b − c = 4。

三分之一種玉米、剩下的一半種大豆：大豆佔整園的 1/3

大豆佔整座菜園的 1/3。剩下的 2/3 取一半是 1/2 × 2/3 = 1/3，和玉米佔的比例一模一樣，這一點常讓人意外。

數列 3/5、7/11、11/17、15/23 中 A 與 B 的最大公因數是 1

最大公因數是 1。第 n 項是 (4n − 1)/(6n − 1)，所以 A = 203、B = 2999；2999 是質數又除不進 203，兩數互質。

分數規律中兩個未知數的最大公因數

最大公因數是 2。分子依 3n − 1、分母依 5n − 2，算出 X = 152、Y = 2498，而 152 = 2³ × 19、2498 = 2 × 1249。

求兩個指數形式數的最大公因數：3 × 5³ × 7⁴

最大公因數是 3 × 5³ × 7⁴。取兩數共有的每個質因數，指數取較小的那一個；既不用乘開，也不必再做質因數分解。

各位數字相異且 9A 數字和為 81 的 A 有幾個：512 個

恰好有 512 個：九位數只有 987654321（9A = 8888888889），十位數有 511 個。恆等式 S(9A) = 9b 逼出 10A − A 必須恰好借位九次。

三段 3/4 吋可以切出幾段 3/16 吋？

三段 3/4 吋首尾相接共 9/4 吋，9/4 ÷ 3/16 = 12 段。說明「可以切出幾段」為什麼是除法，以及如何用倒數來算分數除法。

5 到 200 之間能被 2 或 5 整除的整數有幾個：118 個

共有 118 個。範圍內有 98 個 2 的倍數與 40 個 5 的倍數，再扣掉被重複算到的 20 個 10 的倍數。

月收入 1500 美元、伙食佔 25%：該撥出 375 美元

答案是 375 美元。把 25% 換成小數 0.25 再乘以 1500 得到 375，也就是把收入取四分之一。

微克換毫升：由藥物濃度求注射體積

病人需要 180 微克藥物，供應濃度為每 5 cc 含 2.0 毫克。先統一單位，再用因次分析算出應注射多少毫升。

399x + 188y = 3570 的全部整數解：x = 98 + 188k、y = −189 − 399k

通解是 x = 98 + 188k、y = −189 − 399k。常被引用的特解 (18, −19) 是錯的，代入只得 3610；因為 25854 除以 188 的餘數是 98，不是 18。

能被 15 整除的最大六位迴文數

答案是 597795 = 15 × 39853。被 5 整除的規則逼出首位必為 5，被 3 整除的規則則決定中間兩位最大能取到多少。

能被 45 整除的最大六位迴文數是 594495

答案是 594495。被 5 整除逼出首尾數字都是 5，被 9 整除逼出 b + c 除以 9 餘 4，所以取 b = 9、c = 4 就能讓這個數最大。

64 公分 × 36 公分能切出的最大等大正方形

最大正方形邊長 4 公分，也就是 64 與 36 的最大公因數，整張可切成 16 × 9 = 144 個。並說明為什麼正方形取最大時片數最少。

三位數減去倒序數等於 396 的最大數：995

答案是 995。由差可推出 99(a − c) = 396，所以首位比末位大 4；取 a = 9、c = 5，中間的十位數字可以放到最大的 9。

把帶分數 10 又 2/3 化成假分數：答案是 32/3

答案是 32/3。整數部分乘分母（10 × 3 = 30），加上分子得 32，分母仍留 3；換成小數是 10.666666666666666。

把帶分數 13 又 3/10 寫成假分數：答案是 133/10

答案是 133/10。整數 13 乘分母 10 得 130，加上分子 3，分母仍留 10；換成小數就是 13.3。

把帶分數 17 又 3/8 化成假分數：答案是 139/8

答案是 139/8。整數部分乘分母（17 × 8 = 136），加上分子得 139，分母仍留 8；換成小數是 17.375。

把帶分數 2 又 2/3 化成假分數：答案是 8/3

答案是 8/3。整數部分乘分母（2 × 3 = 6），加上分子得 8，分母仍留 3；換成小數是 2.6666666666666665。

把帶分數 20 又 1/2 化成假分數：答案是 41/2

答案是 41/2。整數部分乘分母（20 × 2 = 40），加上分子得 41，分母仍留 2；換成小數是 20.5。

把帶分數 4 又 2/3 化成假分數：答案是 14/3

答案是 14/3。整數部分乘分母（4 × 3 = 12），加上分子得 14，分母仍留 3；換成小數是 4.666666666666667。

把帶分數 6 又 1/3 化成假分數：答案是 19/3

答案是 19/3。整數部分乘分母（6 × 3 = 18），加上分子得 19，分母仍留 3；換成小數是 6.333333333333333。

把帶分數 6 又 7/12 化成假分數：答案是 79/12

答案是 79/12。整數部分乘分母（6 × 12 = 72），加上分子得 79，分母仍留 12；換成小數是 6.583333333333333。

把帶分數 9 又 2/7 化成假分數：答案是 65/7

答案是 65/7。整數部分乘分母（9 × 7 = 63），加上分子得 65，分母仍留 7；換成小數是 9.285714285714286。

計算 5 3/7 − 9 1/3 + (−3 13/35)：答案是 −764/105 = −7 29/105

答案是 −764/105，也就是 −7 29/105。先把三個帶分數化成假分數 38/7、28/3、118/35，再通分到最小公分母 105，最後把分子一次算完：570 − 980 − 354 = −764。

計算 5 3/7 − 9 1/5 + (−3 13/35)：答案是 −50/7 = −7 1/7

結果是 −50/7，也就是 −7 1/7。先化成假分數 38/7、46/5、118/35，再通分到分母 35，分子合併得 190 − 322 − 118 = −250，約分後即為 −50/7。

54 名男生與 48 名女生最多分成幾組：答案是 6 組

答案是 6 組，每組 9 名男生、8 名女生。組數必須同時整除 54 與 48，所以最多只能是最大公因數 gcd(54, 48) = 6，而分成 6 組剛好可以整除。

0.92 × 1.4994 用 1 − 0.08 速算：答案是 1.379448

答案是 1.379448。把 0.92 改寫成 1 − 0.08，乘積就是 1.4994 減去 0.119952——只要一次好算的乘法加一次減法，不必做四位數的直式乘法。

26 × 9.175 拆成 20 + 6 來算：答案是 238.55

乘積剛好是 238.55。用分配律把 26 拆成 20 + 6，得到 9.175 × 20 = 183.5 與 9.175 × 6 = 55.05，兩個部分積相加就是 238.55。

計算 0.05 × 0.8 ÷ 1.6 循環：答案是 3/125 = 0.024

答案是 3/125，也就是 0.024。循環小數 1.6 循環等於 5/3，而除以 5/3 就是乘以倒數 3/5，這樣每一步都保持精確值，不會累積四捨五入的誤差。

計算 (−1/5)(−25/13)(26/45)：兩個負號相消，答案是 2/9

乘積是 2/9。負號的個數是偶數，結果就是正的；先把 25 與 5、26 與 13、剩下的 5 與 45 約掉再相乘，數字會小很多。

計算 (−3/4)(12/−5)(−25/6)：先數負號再約分，答案是 −15/2

乘積是 −15/2。負的因數有三個，所以結果為負；相乘前先把 3 與 6、12 與 4、25 與 5 約掉，每個數字都會維持很小。

多層括號分數次方運算：層層化簡後答案是 3/4

答案是 3/4。中括號內化簡成 1/8 + 7/8 = 1，平方後仍是 1，除以 7/8 得 8/7，再減 1/7 得 1，最後除以 4/5 再減 1/2 就是 3/4。

化簡繁分數 (7(4−3)/5 − (2(2−8)−3(8+1))/15)/3：答案是 4/3

值是 4/3。內層分子算出來是 −39，所以第二個分數是 −39/15 = −13/5；與 7/5 相減後剛好等於 4，最外層再除以 3 就是 4/3。

24 到 44 之間被 5 整除、除以 7 餘 2 的數：答案是 30

答案是 30。先列出範圍內 5 的倍數只有 25、30、35、40，再逐一用 7 去除檢查餘數，只有 30 同時滿足兩個條件。

計算 8.64/1.49 的平方根的六分之一：答案是 2√894/149 ≈ 0.4013

(1/6)·√(8.64/1.49) = 2√894/149 ≈ 0.4013。先把根號內的分數算成 864/149 ≈ 5.798658，開根號得 2.40804，最後再除以 6。

把 7/3、2/5、15/9、21/18 由大到小排序：7/3 > 15/9 > 21/18 > 2/5

通分到分母 90 之後依序是 210/90、36/90、150/90 與 105/90，所以由大到小的順序是 7/3 > 15/9 > 21/18 > 2/5。

依運算順序化簡 7² − 72 ÷ 6² × 9 − 6：答案是 25

答案是 25。先算次方，再把除法與乘法嚴格由左往右做：72 ÷ 36 = 2、2 × 9 = 18，於是整個算式變成 49 − 18 − 6。

依運算順序化簡 (13 × 2 − 5²) / [3² − (−4)]²：答案是 1/169

答案是 1/169。分子的次方要排在減法之前，而中括號必須整個算完才能平方：9 − (−4) = 13，13 的平方就是 169。

計算 (1/4)²÷(1/4)² + (1/2)² + 4/3 − (4/3)³÷(4/3)² − 1/2：答案是 3/4

答案是 3/4。自己除以自己得 1，同底數的次方相除又還原成 4/3、剛好和單獨那一項的 4/3 相消，最後只剩下 1 + 1/4 − 1/2。

計算 (1/2)⁰ + [(3/2 − 1/4)² − (1 − 1/4)²] ÷ (3/2)² − 1/2：答案是 17/18

答案是 17/18。中括號算出來是 25/16 − 9/16 = 1，除以 9/4 得 4/9，最後 1 + 4/9 − 1/2 通分到分母 18 就得到 17/18。

計算 (2/3 + 2/6) + [(3/5 − 1/10)² ÷ (1 − 1/3)²] − 1 − 5/16：答案是 1/4

答案是 1/4。第一個括號剛好等於 1，中間的商是 (1/2)² ÷ (2/3)² = 9/16，零次方那一項是 1，最後一項用指數律直接得 5/16。

計算兩個方括號相乘的分數次方混合運算：答案是 1

答案是 1。第一個方括號用同底數冪相除得 (1/2) 的 −1 次方也就是 2；第二個方括號裡 1 − 5/9 剛好等於 4/9，於是相同的兩個平方相除得 1，3/2 − 1 = 1/2，最後 2 × 1/2 = 1。

按運算順序計算 −2×(−4)−(−4)+3−(−3)×5，答案是 30

答案是 30。先做兩個乘法得 +8 與 −15，代回時要把前面的符號一起帶上；再把每一處「減去負數」改寫成加法，得 8 + 4 + 3 + 15，由左往右相加就是 30。

4 個包包打八折共 6,400 泰銖，原價每個 2,000 泰銖

原價是每個 2,000 泰銖。6,400 是 4 個包包的總額，所以每個的售價是 1,600，而它是原價的 80%，除以 0.80 即可還原。

5 雙鞋打九折共 4,500 泰銖，原價每雙 1,000 泰銖

原價是每雙 1,000 泰銖。先把 4,500 除以 5 得到每雙的折後價 900，再除以 0.90；千萬不要把 10% 加回去，那樣只會得到 990。

6 支手錶打 85 折共 10,200 泰銖，原價每支 2,000 泰銖

原價是每支 2,000 泰銖。每支的售價是 1,700，相當於原價的 85%，所以把 1,700 除以 0.85 就能還原到折扣前的價格。

8 件襯衫打 75 折共 9,600 泰銖，原價每件 1,600 泰銖

原價是每件 1,600 泰銖。每件的售價是 1,200，而 1,200 是原價的四分之三，所以要乘 4/3（也就是除以 0.75），不是在 1,200 上加回 25%。

打八折後要漲多少才回到原價？答案是 25%

特價要再漲 25% 才會回到原價，而不是 20%，因為漲幅是以打折後較小的基準 80 來算，而不是原本的 100。

16.786 漲到 18.588 的增幅是 10.74%：分步算給你看

增幅是 10.74%（四捨五入前為 10.735%）。先相減得到漲幅 1.802，再除以原值 16.786，最後乘 100——分母放的是原值，不是新值。

行程從 10 小時縮到 8 小時：速率提高 25%，不是 20%

路程固定時，速率與時間成反比。新速率 S/8 對舊速率 S/10，比值 10/8 = 1.25，所以提高了 25%。時間降幅與速率增幅的基準不同，這正是陷阱所在。

676 的質因數分解是 2² × 13²：用試除法一步步做

分解結果是 676 = 2² × 13²。連除兩次 2 後剩下 169，而 169 就是 13²；兩個指數都是偶數，所以 676 本身是完全平方數，等於 26²。

1676 = 2² × 419：為什麼 419 是質數

1676 = 2² × 419。連除兩次 2 之後剩下 419，再用不超過 √419 ≈ 20.47 的每個質數試除都除不盡，所以 419 本身就是質數。

用立方差公式證明 369³ − 219³ 能被 1350 整除

369³ − 219³ = 39 739 950 = 1350 × 29 437。分解後得 150 × 264 933，而 264 933 能被 9 整除，正好補上 1350 裡還缺的那個因數 9。

循環小數與有理指數：19/88 與 8/125

兩個值分別是 19/88 與 8/125。先把 0.333… 化成 1/3、2.1333… 化成 32/15，再把 3^(1/2)·3^(1/2) 併成 3，最後處理負分數指數。

把 −2 − 9 改寫成加法：答案是 −2 + (−9)，數字不動

加法形式是 −2 + (−9)。減去 9 就等於加上它的相反數，所以運算變成加號，而 9 前面多出一個負號。

把 −20 − (−6) 改寫成加法：答案是 −20 + 6

加法形式是 −20 + 6。減去一個數就等於加上它的相反數，所以運算符號和第二個數的符號要同時翻轉，而開頭的 −20 保持不變。

3.6 四捨五入到整數是 4：一步一步說明理由

答案是 4。3.6 往上到 4 只差 0.4，往下到 3 卻差 0.6，所以 4 才是比較近的那個整數，四捨五入就取它。

海龜上升再下降 165 公尺後位置是 −850 公尺，淨變化 0

海龜最後位在 −850 公尺，位置的淨變化是 0 公尺。依正負號運算 −850 + 165 − 165 = −850，所以「位置」和「變化量」是兩個不同的答案。

能剛好剪成 9 cm 與 12 cm 兩種等長段的最短緞帶是 36 cm

答案是 36 cm。「兩種剪法都不剩」代表長度是公倍數，「最短」則代表它是最小公倍數，用質因數分解就能求出。

2 ÷ √2 化簡後等於 √2：分母有理化怎麼做

2 / √2 = √2 = 1.41421。根指數為 2 的根號就是一般的平方根，分子分母同乘 √2 就能把分母的根號清掉。

把分數 3/9 約到最簡：答案是 1/3

答案是 1/3。3 和 9 的最大公因數是 3，分子分母同除以它之後就再也約不動了；文中另用交叉相乘與循環小數各驗算一次。

5554/1024 約成 2777/512，等於 5.423828125

答案是 2777/512，也就是帶分數 5 又 217/512，精確等於 5.423828125。因為 2777 是奇數，只能約掉一個 2，約分到這裡就到底了。

化簡 √198 得 3√22，約等於 14.0712

最簡形式是 3√22，約 14.0712。因為 198 = 9 × 22，而 22 = 2 × 11 不含平方因數，所以只有因數 9 開得出根號。

化簡 √63 得 3√7，約等於 7.93725

√63 = 3√7 ≈ 7.93725。因為 63 = 9 × 7 而 9 是完全平方數，3 可以移到根號外面，不含平方因數的 7 只能留在根號裡。

化簡 √72 得 6√2，約等於 8.4853

最簡形式是 6√2，約 8.4853。把 72 拆成 36 × 2，其中 36 是最大的完全平方因數，再把 √36 = 6 提到根號外面。

6 個連續奇數都是 3、5、7 或 11 的倍數：最大數除以 11 餘 4

一個可能的餘數是 4。115 到 125 這一串就符合，最大的 125 除以 11 得 125 − 121 = 4；除此之外唯一可能的餘數是 6。

化簡 5 − 7、−4 − (−8) 等六題整數減法：答案是 −2、0、1、10、4、−5

六個答案依序是 −2、0、1、10、4、−5。把每個減法都改寫成加上相反數，六題就全變成加法，在數線上直接讀就好。

各位數字相異、減去反序數得 396 的最小三位數是 410

答案是 410。按位值展開後差是 99(a−c)，十位自動抵消，條件逼出首位比末位大 4；要最小就取 a = 4、c = 0，十位取還沒用過的最小數字 b = 1。

減去反序數等於 693 的最小三位數是 710

答案是 710。這個差永遠等於 99(a − c)，所以 693 逼出 a − c = 7；取 a = 7、c = 0，再取最小的合法 b = 1，就得到 710。

解 (19x + 83) ÷ 7 = 8² − 5²，得 x = 10

答案是 x = 10。右邊先算成 64 − 25 = 39，兩邊乘回 7 得 19x + 83 = 273，減去 83 得 19x = 190，再除以 19。用平方差 (8−5)(8+5) 算右邊更快。

用指數律解 (25 + x) ÷ 3 = 3¹⁴ ÷ 3¹²，得 x = 2

答案是 x = 2。指數相減把右邊化成 3² = 9，兩邊乘回 3 得 25 + x = 27，再減去 25 就好——全程完全不必把 3¹⁴ 算出來。

不展開次方就解出 3¹⁵ ÷ (125 − 4x) = 3¹³，得 x = 29

答案是 x = 29。把括號看成未知的除數：它必須等於 3¹⁵ ÷ 3¹³ = 3² = 9，於是 125 − 4x = 9，得 4x = 116，最後 x = 116/4 = 29。

解 54 ÷ (x − 7) = 5² − 4²：未知數在除數上，答案 x = 13

答案是 x = 13。右邊是 25 − 16 = 9，所以 x − 7 必須等於 54 ÷ 9 = 6；因為未知數落在除數位置，這一步要做除法而不是乘法。

約掉 6⁸ 解 (5x + 3⁴) × 6⁸ = 6⁹ × 3⁴，得 x = 81

答案是 x = 81。兩邊同除以 6⁸ 得 5x + 81 = 6 × 81 = 486；只有 6 的次方能約掉，因為 3⁴ 在左邊被關在括號裡，在右邊卻是獨立的因式。

解 (X − 40.354/14.4) × 3562/3600 = 148590.568/51840，得 X ≈ 5.699270

X = 73082879/12823200 ≈ 5.699270。右邊先算成 2.8663304，再除以 3562/3600 = 0.9894444，最後加回 40.354/14.4 = 2.8023611，就還原出 X。

解 x mod 7 = 6：所有餘數為 6 的整數是 x = 7k + 6

答案是 x = 7k + 6（k 為任意整數），也就是 6、13、20、27……。餘數條件有無窮多個解，相鄰兩解剛好相差 7，所以任何單一數字都不算答案。

解 x + 0.09x = 1407198 去掉 9% 加成，x ≈ 1,291,007.34

答案是 x ≈ 1,291,007.34，不是常被引用的 1,291,008.26。提出公因式得 1.09x = 1407198 再作除法——這正是從含稅總額還原稅前金額的做法。

把 960 公克按 4 : 1 分配：4 份是 768 公克，1 份是 192 公克

佔 4 份的那部分是 768 公克，佔 1 份的是 192 公克。先把比的兩項相加得到 5 份，用 960 除以 5 得每份 192 公克，再乘 4。

求 1595.69 的平方根：用上下夾法得約 39.9461

答案約為 39.9461。正確的夾住區間是 39.94 到 39.95，因為 39.94² = 1595.2036、39.95² = 1596.0025——而不是常被抄錯的 1595.0025。

用牛頓法求 2706.225166081663 的平方根，得 52.021391

平方根取到小數第六位是 52.021391。先用 52² = 2704 與 53² = 2809 夾住，再從 52 出發做兩次牛頓迭代就收斂到足夠的精度。

√400 = 20 的理由：用質因數分解 2⁴ × 5² 說明

答案是 √400 = 20，因為 20 × 20 = 400。把 400 拆成 2⁴ × 5²，質因數剛好兩兩成對；另外根號符號永遠只代表非負的那個根。

−8.4 − (−2.65) = −5.75：減去負數就是加上正數

−8.4 − (−2.65) = −5.75。連著兩個負號變成加號，再用絕對值大的減去絕對值小的，符號跟著絕對值大的那個走。

(145.17 − 76.3006) − 48.164 = 20.7054：逐步直式計算

先把每個數補到小數第四位，位數才對得齊：145.1700 − 76.3006 = 68.8694，再算 68.8694 − 48.1640 = 20.7054。

公比 1.25 的等比級數前 10 項和約為 0.00202843

答案約為 0.00202843。先把首項提出來，再用 S = (rⁿ − 1)/(r − 1)；r = 1.25 時分母是 0.25，除以它就等於乘 4。

A 與 A + 4 的數字和都是 5 的倍數的三位數：357、366、389

357、366、389 都符合。加 4 時個位必須進位：進位讓數字和淨變 +4 −10 +1 = −5，只有這樣它才仍是 5 的倍數；不進位就只是加 4。

A 與 A + 6 的數字和都被 12 整除的三位數：699、798、897

699、798、897 都符合。它們的數字和都是 24；加 6 會逼出兩次進位，讓數字和被扣掉 18，最後剩 12，仍然是 12 的倍數。

A 與 A + 2 的數字和都被 4 整除的三位數：只有 299 與 398

符合的只有 299 與 398。不進位地加 2 會讓數字和增加 2，就破壞了被 4 整除，所以個位必須是 8 或 9。

A 與 A + 3 的數字和都被 6 整除的三位數：369、378、387

369、378、387 都符合。加 3 一定得發生進位，因為不進位時數字和只會增加 3，永遠不可能還是 6 的倍數。

十位是 0、兩位數字對調後變大 198 的三位數是 406

這個數是 406。2a = c + 2 與 c − a = 2 這兩個條件構成一組小小的聯立方程式，解得 a = 4、c = 6，也就是 406，而 604 − 406 剛好是 198。

三位密碼：數字相異、和為 10、首位比第二位大 2，答案是 5-3-2

密碼是 5-3-2。四個選項裡只有它三個數字互不相同、首位比第二位大 2，而且三個數字之和等於 10。

兩塊工廠用地：地價 1,243,656,000 F，成本價 1,368,656,000 F

土地總價是 1,243,656,000 F，再加上 125,000,000 F 的建築費，成本價是 1,368,656,000 F。關鍵一步是 1 平方十公尺 = 100 平方公尺，不是 10。

數字和為 7、且是兩位數字之差的 43 倍的兩位數是 43

這個數是 43。寫成 10a + b 之後，第二個條件變成 10a + b = 43(a − b)，整理成 4b = 3a，兩個數字只能是 4 與 3。

四個集合求 A∪B、B∪C、C∪D、A∩B、C∩D 與 D∩A

聯集把每個元素只收一次，交集只留共有的。這裡 A∩B = {5}、C∩D = {3,9}、D∩A = {2}，三個聯集分別有 7、8、9 個元素。

{5, 6, 8, 9} 與 {5, 7, 8} 的聯集是 {5, 6, 7, 8, 9}

聯集是 {5, 6, 7, 8, 9}。把屬於任一集合的元素全收進來，每個只寫一次；5 和 8 兩邊都有，但也只寫一遍。

三人均攤卻分得不均：求單價

每罐 24。分得最少的人比公平的三分之一少了 6 罐，而那筆 144 的補款剛好抵這 6 罐，所以 144 / 6 = 24。

0.0000000121 寫成科學記號 1.21×10⁻⁸ 與百分數 0.00000121%

0.0000000121 = 1.21×10⁻⁸ = 0.00000121%，大約是 8262 萬分之一。小數點往右移八位，得到係數 1.21。

把 167/42 化成最簡帶分數：3 又 41/42

答案是 3 又 41/42。因為 167 是質數，和 42 沒有公因數，所以這個分數約不了；相除得商 3、餘數 41。

把 5,730,000,000,000,000 寫成科學記號：5.73 × 10¹⁵

答案是 5.73 × 10¹⁵。把小數點放到第一個非零數字後面，再數它一共往左移了 15 位；大數對應的指數是正的。

把 99 寫成三個因數的乘積：99 = 3 × 3 × 11

答案是 99 = 3 × 3 × 11。依序用最小的質數去除：99 先拆成 9 × 11，9 再拆成 3 × 3，此時三個因數都是質數。

把 −0.0000000463 寫成科學記號：答案是 −4.63 × 10⁻⁸

答案是 −4.63 × 10⁻⁸。小數點要往右移 8 位才會變成 4.63，因此指數必須是負的，而最前面的負號則原封不動保留。

把 −3.00008 × 10⁹ 寫成小數形式：答案是 −3,000,080,000

小數形式是 −3,000,080,000。九次移位中有五次用掉 3.00008 原有的位數，剩下的四次則要補上四個零。

把 −4.34 × 10⁻² 寫成小數形式：答案是 −0.0434

小數形式是 −0.0434。指數 −2 表示小數點往左移兩位，而 4.34 前面的負號則原封不動一路帶到底。

把 −6.00009 × 10⁷ 寫成小數形式：答案是 −60,000,900

小數形式是 −60,000,900。小數點往右移七位，6.00009 中間的那幾個零都必須照位置搬過去，之後才輪到補上的零。

把 −7.71 × 10⁴ 寫成小數形式：答案是 −77,100

小數形式是 −77,100。指數 +4 表示小數點往右移四位，所以在數字 771 後面要補上兩個零把位數填滿。