求不超過 100000 × 32 ÷ (4 ln 2 + 3) 的最大整數。

Step-by-step solution

1. 1

   把中括號讀成高斯（下取整）函數。 在這個記號裡，$[\,\cdot\,]$ 表示不超過該值的最大整數，所以任務是先算出一個商，再往下取整。全部的難處在於正確判定整數部分，而那需要知道這個商離整數有多近。

2. 2

   把分子併起來。 $100000\times32=3{,}200{,}000$，所以要求的是

   $\left\lfloor\frac{3{,}200{,}000}{4\ln 2+3}\right\rfloor$

3. 3

   把分母算到足夠的精度。 取 $\ln 2=0.69314718055994531$，

   $4\ln 2=2.77258872223978124,\qquad 4\ln2+3=5.77258872223978124$

   若把 $\ln2$ 只截到小數第三位，商會偏移大約 $\pm 200$，對取整來說太粗糙 —— 這正是需要十位以上數字的原因。

4. 4

   做除法。

   $\frac{3{,}200{,}000}{5.77258872223978124}=554{,}344.0134010431$

5. 5

   取下高斯符號並確認邊界。 小數部分是 $0.0134$，所以下取整是 $554{,}344$。這個結果確實很靠近邊界：乘回去看，$554{,}344\times5.77258872224=3{,}199{,}999.923$，剛好略小於 $3{,}200{,}000$，而 $554{,}345\times5.77258872224=3{,}200{,}005.70$ 就超過了 ✓。所以 $554{,}344$ 正確，$554{,}345$ 不對。