計算 32² − 28²。

Step-by-step solution

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   先看結構，別急著按計算機。 這個式子就是「一個平方減掉另一個平方」，正是下面這個恆等式的左邊：

   $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

   這裡 $a=32$、$b=28$。套上公式之後，兩次三位數等級的平方運算（$1024$ 與 $784$）就換成了一次減法、一次加法和一次很好算的乘法。

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   算出兩個因式。

   $a-b=32-28=4,\qquad a+b=32+28=60$

   差很小，是因為這兩個數本來就靠得近 —— 這正是這個技巧最划算的場合。

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   相乘。

   $32^{2}-28^{2}=4\times60=240$

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   用笨方法驗算一遍。 $32^{2}=1024$，$28^{2}=784$，所以 $1024-784=240$ ✓。兩條路都是整數的精確運算，不必擔心四捨五入。

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   想清楚這個技巧什麼時候通用。 只要 $a,b$ 的奇偶性相同，$a^{2}-b^{2}$ 裡的 $a-b$ 就是偶數 —— 這裡是 $4\times60$，心算就能完成。同樣的手法能把 $101^{2}-99^{2}$ 瞬間變成 $2\times200=400$，硬算則得處理兩個四位數的平方。