400 的平方根是多少，為什麼？說明不用計算機該怎麼求。

Step-by-step solution

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   從定義出發。 一個數 $N$ 的平方根，就是自乘之後剛好得到 $N$ 的那個值。所以求 $\sqrt{400}$ 就是解

   $k\times k=400.$

   這就是整道題的全部內容——底下的一切，只是求出 $k$ 的有效率作法。

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   把 400 分解成質因數，再兩兩配對。 反覆做除法可得

   $400=4\times 100=2^{2}\times(2^{2}\times 5^{2})=2^{4}\times 5^{2}.$

   每個指數都是偶數，而這正是 $400$ 為完全平方數的條件。把每個指數取一半：

   $\sqrt{400}=2^{4/2}\times 5^{2/2}=2^{2}\times 5=20.$

   這個方法對任何完全平方數都管用，而且完全不必用猜的。

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   乘回去檢查。 把候選答案平方：

   $20\times 20=400 ✓.$

   還有一個好用的核對法是末尾零的規律：$400$ 有兩個末尾零，所以它的平方根有一個；再由 $\sqrt{4}=2$ 定出開頭的數字——答案就是 $20$。

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   留意符號的約定。 $20$ 和 $-20$ 平方都等於 $400$，但根號 $\sqrt{\ }$ 表示的是**正（非負）**平方根，所以 $\sqrt{400}=20$。帶正負兩個號的答案 $x=\pm20$ 屬於方程式 $x^{2}=400$，而不屬於式子 $\sqrt{400}$——這個區別值得分清楚。

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   用上下夾住來粗估核對。 既然 $19^{2}=361$、$21^{2}=441$，這個根一定嚴格落在 $19$ 與 $21$ 之間，而中間唯一的整數就是 $20$ ✓。像這樣上下夾住，正是估算那些不是完全平方數的平方根的辦法，例如 $\sqrt{410}\approx 20.25$。