求下列各式的值，答案以精確分數表示：(a) (8^(1/3) × 0.333… − 30^(−1)) / (3^(1/2) × 3^(1.5/3) − 1/15)，(b) (2.1333… / (5^(−3) + 1/3))^(−3/2)。

Step-by-step solution

1. 1

   在動指數之前，先把每個循環小數化成分數。 對純循環小數，令 $x=0.333\ldots$；則 $10x=3.333\ldots$，相減得 $9x=3$，所以 $x=\frac39=\frac13$。兩種寫法是同一個數——$\frac39$ 只是還沒約到最簡。

   至於 $2.133\ldots$，循環的那一段是從一位固定數字之後才開始，所以要用兩個倍數：令 $y=0.1333\ldots$，則 $100y-10y=13.33\ldots-1.33\ldots=12$，得 $y=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$，因此

   $2.133\ldots=2+\frac{2}{15}=\frac{32}{15}$

   提醒一個很常見的陷阱：$0.0333\ldots=\frac{1}{30}$，不是 $\frac{3}{9}$。循環段往右移一位，值就要除以 $10$。

2. 2

   化簡 (a) 裡的有理指數。 $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$；又因為 $1{,}5=\frac32$，所以 $\frac{1{,}5}{3}=\frac12$，於是

   $3^{\frac12}\times3^{\frac12}=3^{\frac12+\frac12}=3^{1}=3$

   同底數相乘、指數相加，正是讓這個分母塌成整數的關鍵。

3. 3

   分別算出 (a) 的分子與分母。

   $\text{分子}=2\cdot\frac13-\frac{1}{30}=\frac{20}{30}-\frac{1}{30}=\frac{19}{30}$

   $\text{分母}=3-\frac{1}{15}=\frac{45}{15}-\frac{1}{15}=\frac{44}{15}$

   $\frac{19/30}{44/15}=\frac{19}{30}\times\frac{15}{44}=\frac{19}{2\cdot44}=\frac{19}{88}$

4. 4

   組出 (b) 裡面的分數。 因為 $5^{-3}=\frac{1}{125}$，

   $5^{-3}+\frac13=\frac{3}{375}+\frac{125}{375}=\frac{128}{375}$

   $\frac{32/15}{128/375}=\frac{32}{15}\times\frac{375}{128}=\frac{32\times25}{128}=\frac{25}{4}$

   這些數字是刻意挑的，好讓結果落在「完全平方數除以完全平方數」，這也是下一步的提示。

5. 5

   處理負的分數指數。 負指數把分數上下顛倒，而指數 $\frac32$ 的意思是「先開平方，再立方」：

   $\left(\frac{25}{4}\right)^{-\frac32}=\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac32}=\left[\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\right]^{\frac32}=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=\frac{8}{125}$

6. 6

   把兩個答案換成小數檢查。 $\frac{19}{88}=0.2159\ldots$，而直接算 $\frac{0.6333}{2.9333}=0.2159$。至於 (b)，$\frac{8}{125}=0.064$，而 $6.25^{-1.5}=0.064$。兩者都吻合。