求一個三位數 A，使 A 的數字和能被 4 整除、A + 2 的數字和也能被 4 整除，且 200 < A < 400。

Step-by-step solution

1. 1

   先設出一般形式。 由 $200<A<400$ 可知百位數字 $h$ 只能是 $2$ 或 $3$。記 $A=\overline{hab}$，數字和為 $S=h+a+b$。

2. 2

   推出加 2 對數字和的影響。

   • 不進位（$b\le 7$）：$S\to S+2$。
   • 個位進位（$b\in\{8,9\}$、$a\le 8$）：個位數字減少 $8$、十位數字增加 $1$，所以 $S\to S-7$。
   • 連續進位（$b\in\{8,9\}$ 且 $a=9$）：十位也跟著翻過去，所以 $S\to S-16$。
3. 3

   排除不進位的情形。 若 $4\mid S$，則 $S+2$ 的餘數是 $2$，絕不會是 $0$。所以 $b\in\{8,9\}$ 是被逼出來的。而在只進一位的情形裡 $S\to S-7$，$S-7$ 要是 $4$ 的倍數就得有 $S\equiv 3\pmod 4$——這與 $4\mid S$ 矛盾。於是只剩連續進位這一條路，它還要求 $a=9$：此時 $S\to S-16$，自動仍是 $4$ 的倍數。

4. 4

   在 a = 9 之下加上數字和的條件。 我們要 $h+9+b\equiv 0\pmod 4$，且 $b\in\{8,9\}$：

   • $h=2$：$11+b\equiv 0$ 要求 $b=9$，此時 $S=20$；
   • $h=3$：$12+b\equiv 0$ 要求 $b=8$，此時 $S=20$。
5. 5

   列出來逐一驗證。

   $299\to 2+9+9=20,\quad 301\to 3+0+1=4\ \checkmark$
   $398\to 3+9+8=20,\quad 400\to 4+0+0=4\ \checkmark$

   對 $201$ 到 $399$ 做逐一掃描，回傳的剛好就是這兩個數，所以填哪一個都算對。