分數 3/5、7/11、11/17、15/23、… 依固定規律排列，其中一項是 A/305，另一項是 1999/B。求 A 與 B 的最大公因數。

Step-by-step solution

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   把分子與分母當成兩個獨立的數列。 分子：$3,7,11,15,\ldots$ 每次增加 $4$。分母：$5,11,17,23,\ldots$ 每次增加 $6$。兩者都是等差數列，所以各有一般項：

   $\text{分子}_n=3+4(n-1)=4n-1$

   $\text{分母}_n=5+6(n-1)=6n-1$

   用 $n=4$ 抽查：$4(4)-1=15$、$6(4)-1=23$ $\checkmark$。

2. 2

   找出分母是 305 的那一項。

   $6n-1=305\ \Longrightarrow\ 6n=306\ \Longrightarrow\ n=51$

   $n$ 算出來剛好是整數，這確認了 $305$ 真的落在這個數列裡。它的分子是

   $A=4(51)-1=203$

3. 3

   找出分子是 1999 的那一項。

   $4n-1=1999\ \Longrightarrow\ 4n=2000\ \Longrightarrow\ n=500$

   $B=6(500)-1=2999$

4. 4

   在假設有公因數之前，先把兩個數都分解。

   $203=7\times 29$

   至於 $B=2999$，拿不超過 $\sqrt{2999}\approx 54.8$ 的每個質數 —— $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53$ —— 逐一試除，每次都有餘數，所以 $2999$ 是質數。

5. 5

   算出最大公因數。 因為 $2999$ 是質數，可能的公因數只剩 $1$ 與 $2999$ 本身，而 $2999\nmid 203$。用輾轉相除法確認：

   $2999=14\times 203+157,\quad 203=1\times 157+46,\quad 157=3\times 46+19$

   $46=2\times 19+8,\quad 19=2\times 8+3,\quad 8=2\times 3+2,\quad 3=1\times 2+1,\quad 2=2\times 1$

   $\gcd(203,2999)=1$

   兩個數互質。（很容易順手寫成 $2999=29\times 103$ 而得出答案 $29$，但 $29\times 103=2987$，並不是 $2999$ —— 這種分解值得乘回去檢查一次。）