求 1595.69 的平方根。

Step-by-step solution

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   先用兩個整數把答案夾住。 由於 $39^2=1521$、$40^2=1600$，而 $1595.69$ 落在兩者之間——而且離 $1600$ 近得多——所以這個根略小於 $40$。

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   利用與 40 的差距來細化。 把根寫成 $40-d$。那麼 $(40-d)^2=1600-80d+d^2$，我們要它等於 $1595.69$，也就是 $80d-d^2=4.31$。忽略極小的 $d^2$，得 $d\approx\tfrac{4.31}{80}=0.0539$，於是根大約是 $40-0.0539=39.946$。

3. 3

   用精確的平方值夾到小數第二位。 仔細計算，用 $(40-t)^2=1600-80t+t^2$：

   $39.94^2=1600-4.8+0.0036=1595.2036,\qquad 39.95^2=1600-4+0.0025=1596.0025$

   由於 $1595.2036<1595.69<1596.0025$，這個根落在 $39.94$ 與 $39.95$ 之間。

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   糾正一個常被抄錯的夾住區間。 有些解答把 $39.95^2$ 寫成 $1595.0025$、把 $39.96^2$ 寫成 $1595.8016$——每一個都剛好小了 $1$。真值是 $1596.0025$ 與 $1596.8016$，這正是為什麼正確的區間是 $[39.94,39.95]$ 而不是 $[39.95,39.96]$。

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   寫出保留四位小數的值。

   $\sqrt{1595.69}=39.9460887\ldots\approx39.9461$

   它確實落在更正後的區間裡 ✓，也和第 2 步的線性估計 $39.946$ 相符 ✓。

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   平方回去驗算。 $39.9461^2=1595.6909$，只比 $1595.69$ 多了 $0.0009$；而 $39.946^2=1595.6829$，少了 $0.0071$。所以取四位小數時 $39.9461$ 是比較好的那一個 ✓。這個值是無理數，因為 $\sqrt{1595.69}=\tfrac{\sqrt{159569}}{10}$，而 $159569$ 是質數，當然不可能是完全平方數，所以沒有精確的小數表示。