展開並化簡 √2 × (√7 + 6√72)。

Step-by-step solution

1. 1

   把外面的根號分配到兩項上。 $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt2\cdot\sqrt7 + \sqrt2\cdot6\sqrt{72}.$ 係數 $6$ 只是原封不動帶著走；真正相乘的只有根號。

2. 2

   先乘第一組根號。 對非負的 $a,b$ 使用 $\sqrt a\,\sqrt b = \sqrt{ab}$：$\sqrt2\cdot\sqrt7 = \sqrt{14}.$ 由於 $14 = 2\cdot7$ 沒有平方因數，$\sqrt{14}$ 已經是最簡根式。

3. 3

   再乘第二組 —— 注意它會變成有理數。 $\sqrt2\cdot\sqrt{72} = \sqrt{144} = 12,$ 因為 $2\cdot72 = 144$ 是完全平方數。這正是本題的用意：一項仍然是無理數，另一項卻不是。

4. 4

   把係數乘回去。 $6 \cdot 12 = 72$，所以第二項是整數 $72$。

5. 5

   組合出答案。 $\sqrt2\left(\sqrt7+6\sqrt{72}\right) = \sqrt{14}+72 = 72+\sqrt{14}.$ 這兩項不是同類項（一個是有理數，一個是根式），所以不能再合併下去。

6. 6

   用數值檢查。 $\sqrt2 \approx 1.414214$、$\sqrt7 \approx 2.645751$、$\sqrt{72} \approx 8.485281$，所以原式是 $1.414214(2.645751+50.911688) \approx 75.741657$；而 $72+\sqrt{14} \approx 72+3.741657 = 75.741657$。兩者一致。

7. 7

   順帶記下另一條路。 先把 $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ 化簡，第二項就變成 $\sqrt2\cdot36\sqrt2 = 36\cdot2 = 72$ —— 同樣的結果，計算量還更少。