填空：99 = ? × ? × ?

Step-by-step solution

1. 1

   依序試一遍小質數。 $99$ 是奇數，所以 $2$ 排除。各位數字之和是 $9+9=18$，是 $9$ 的倍數，所以 $99$ 既能被 $3$ 整除也能被 $9$ 整除：

   $99\div9=11$

   於是先拆成兩個因數 $99=9\times11$。正是「用數字和判斷能否被 3 整除」這個方法，讓我們不必逐個試除就立刻看出結果。

2. 2

   把還是合數的因數繼續拆。 $11$ 是質數（不能被 $2$、$3$ 或任何不超過 $\sqrt{11}\approx3.3$ 的質數整除），但 $9$ 不是：

   $9=3\times3$

3. 3

   組出三個因數的乘積。

   $99=3\times3\times11$

   檢查：$3\times3=9$、$9\times11=99$ ✓。這就是它的質因數分解，通常寫成 $99=3^{2}\times11$。

4. 4

   說明這實質上是唯一的答案。 由唯一分解定理，$99$ 的質因數恰好就是 $3,3,11$，所以任何不使用 $1$ 的三因數乘積都只能是它們的重新排列。寫成 $99=1\times9\times11$ 字面上也是三個因數，但拿 $1$ 來湊沒有任何意義——題目要的是三個大於 $1$ 的因數。

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   列出所有因數來交叉驗證。 由 $3^{2}\times11$ 可知因數是 $1,3,9,11,33,99$——共六個，與由指數推得的個數 $(2+1)(1+1)=6$ 吻合。每個因數都能配成一對：$1\times99$、$3\times33$、$9\times11$ ✓。