求一個三位數 A，使 A 的數字和能被 12 整除、A + 6 的數字和也能被 12 整除，且 600 < A < 900。

Step-by-step solution

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   先記住支配這一類題目的那條事實。 給一個數加上 $k$，若沒有進位，數字和就跟著增加 $k$；每發生一次進位，數字和就再被扣掉 $9$。具體來說，個位發生一次進位時，數字和的變化量是 $k-9$。

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   排除不進位的情形。 若 $12\mid S$ 且沒有進位，新的數字和是 $S+6$，模 $12$ 的餘數是 $6$——絕不會是 $0$。所以加 $6$ 一定得引發至少一次進位，也就是個位數字 $b$ 必須滿足 $b\ge 4$。

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   看看只進一次位會怎樣。 恰好進一次位時，數字和的變化量是 $6-9=-3$，變成 $S-3$。要讓 $12\mid S$ 與 $12\mid(S-3)$ 同時成立是不可能的，所以必須進兩次位：十位也得跟著翻過去，這要求十位數字是 $9$。進兩次位讓數字和變化 $6-9-9=-12$，而只要 $S$ 是 $12$ 的倍數，$S-12$ 也一定是。

4. 4

   把條件落到各位數字上。 記 $A=\overline{hab}$，其中 $h\in\{6,7,8\}$、$a=9$、$b\ge 4$。我們要 $h+9+b\equiv 0\pmod{12}$，也就是 $h+b\equiv 3\pmod{12}$，於是 $h+b=15$（在 $h\le 8$、$b\le 9$ 的限制下只有這個值構得著）：

   $(h,b)=(6,9),\ (7,8),\ (8,7).$

5. 5

   列出來逐一驗證。

   $699\to 6+9+9=24,\quad 705\to 7+0+5=12\ \checkmark$
   $798\to 24,\quad 804\to 12\ \checkmark$
   $897\to 24,\quad 903\to 12\ \checkmark$

   把 $601$ 到 $899$ 整個掃過一遍，回傳的剛好就是這三個，所以其中任何一個都是合格的答案。