設 X = {5, 6, …, 200}，X 中有幾個元素能被 2 或被 5 整除？

Step-by-step solution

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   選用排容原理，並且把「或」讀成可以同時成立。 設 $A$ 是 $X$ 裡 $2$ 的倍數所成的集合，$B$ 是 $5$ 的倍數所成的集合。「能被 $2$ 或 $5$ 整除」指的就是 $A\cup B$，而

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   那個減號很要緊：像 $10$、$20$、$30$ 這些數同時在兩張清單裡，不能算兩次。

2. 2

   數 2 的倍數。 用 $\big\lfloor \tfrac{200}{2}\big\rfloor-\big\lfloor \tfrac{4}{2}\big\rfloor$ —— 不超過 $200$ 的倍數，減去不超過 $4$ 的倍數（也就是落在範圍起點之前的那些）：

   $|A|=100-2=98$

   （被扣掉的是 $2$ 與 $4$；清單是 $6,8,\ldots,200$。）

3. 3

   數 5 的倍數。

   $|B|=\left\lfloor\frac{200}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{5}\right\rfloor=40-0=40$

   （清單是 $5,10,\ldots,200$，而 $5$ 本身就落在範圍內。）

4. 4

   數重疊的部分。 同時能被 $2$ 與 $5$ 整除的數，就是能被 $\operatorname{lcm}(2,5)=10$ 整除的數：

   $|A\cap B|=\left\lfloor\frac{200}{10}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{4}{10}\right\rfloor=20-0=20$

5. 5

   套進公式。

   $|A\cup B|=98+40-20=118$

   $\boxed{118}$

6. 6

   用補集交叉檢查。 集合 $X$ 共有 $200-5+1=196$ 個元素。在連續 $10$ 個整數之中，與 $10$ 互質的有 $4$ 個（結尾是 $1,3,7,9$ 的那些）；從 $5$ 到 $200$ 有 $19$ 個完整的十位段 $11$–$200$ 再減去…… 更直接地說，$5$ 到 $200$ 之間結尾是 $1,3,7,9$ 的數共有 $78$ 個（先是 $7,9$ 這兩個，再加上 $19$ 個十位段 $11$–$200$ 每段四個：$2+4\times 19=78$）。於是 $196-78=118$，吻合。