求能被 45 整除的最大六位迴文數。

Step-by-step solution

1. 1

   先寫出六位迴文數的一般形式。 它的數字排列是 $abccba$，所以

   $N=\overline{abccba},\qquad a\neq 0$

   可以自由選的只有 $a$、$b$、$c$ —— 是三個數字，不是六個。

2. 2

   把 45 拆成互質的因數。 因為 $45=9\times 5$ 且 $\gcd(9,5)=1$，這個數必須同時被 $9$ 與 $5$ 整除。這會給出兩個彼此獨立的數字條件。

3. 3

   用被 5 整除的條件釘住 $a$。 末位數字必須是 $0$ 或 $5$。在迴文數裡末位等於首位，而六位數的首位不能是 $0$。因此

   $a=5,\qquad N=\overline{5bcc b5}$

4. 4

   用被 9 整除的條件限制 $b+c$。 各位數字和是

   $5+b+c+c+b+5=10+2b+2c=2(b+c+5)$

   它必須是 $9$ 的倍數。由於 $\gcd(2,9)=1$，因數 $2$ 可以丟掉：

   $b+c+5\equiv 0\pmod 9\ \Longrightarrow\ b+c\equiv 4\pmod 9$

   所以 $b+c=4$ 或 $b+c=13$（兩個數字所能湊出的只有這兩個值）。

5. 5

   從左邊開始把位值拉到最大。 $a$ 已經固定為 $5$，接下來最高位的自由數字是 $b$，所以取 $b=9$。這時 $c\equiv 4-9\equiv 4\pmod 9$ 要求 $b+c=13$，於是 $c=4$：

   $N=594495$

6. 6

   把兩個整除條件都驗證一次。 數字和：$5+9+4+4+9+5=36$，而 $36=4\times 9$ $\checkmark$。末位是 $5$ $\checkmark$。直接除也行：

   $594495\div 45=13211\quad\checkmark$

   由大往小掃過所有六位迴文數，可以確認沒有更大的能通過，所以 $594495$ 就是答案。