某個四位數是 5 的倍數，把它的數字反序寫出後仍是一個四位數。原數減去反序數得 1458，求一個符合條件的原數。

Step-by-step solution

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   先把兩個數用位值展開寫出來。 設各位數字為 $a,b,c,d$，則原數為

   $N=1000a+100b+10c+d,\qquad a\neq 0$

   反序數為

   $N'=1000d+100c+10b+a$

   把「數字」的敘述翻譯成算式，就是整題的訣竅；之後全是例行計算。

2. 2

   用兩個條件同時逼出個位數字。 被 $5$ 整除表示 $d\in\{0,5\}$。但反序數也必須是四位數，所以它的首位 $d$ 不能是 $0$。因此

   $d=5$

   這一步就決定了整題：若 $d=0$，反序後最多只剩三位數。

3. 3

   相減並化簡。

   $N-N'=1000a+100b+10c+5-(5000+100c+10b+a)$

   $=999a+90b-90c-4995$

   令它等於 $1458$，把常數移到另一邊：

   $999a+90(b-c)=1458+4995=6453$

4. 4

   對單一數字 $a$ 逐一搜尋，並允許 $b-c$ 為負。 項 $90(b-c)$ 的範圍是 $-810$ 到 $810$，所以 $999a$ 必須落在 $6453$ 的 $810$ 之內：只有 $a=7$ 合格（$999\cdot 7=6993$；而 $999\cdot 6=5994$ 差了 $459$，不是 $90$ 的倍數）。取 $a=7$：

   $6993+90(b-c)=6453\quad\Longrightarrow\quad 90(b-c)=-540\quad\Longrightarrow\quad b-c=-6$

   注意這裡的 $b-c$ 是負的。只試非負的差，正是讓這題看起來無解的陷阱。

5. 5

   列出所有數並挑一個。 滿足 $b-c=-6$ 的數字組合為 $(b,c)\in\{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)\}$，對應

   $7065,\quad 7175,\quad 7285,\quad 7395$

   任何一個都符合題意；其中最小的是

   $\boxed{7065}$

6. 6

   驗算。 $7065$ 的個位是 $5$，所以能被 $5$ 整除。反序後得到四位數 $5607$，而

   $7065-5607=1458$

   符合要求。同樣的方法，若右邊改成 $1359$，會得到 $999a+90(b-c)=6354$，即 $a=6$、$b-c=4$，其中最小的解是 $6405$。