計算 10 的 0.2 次方。

Step-by-step solution

1. 1

   把小數指數化成分數。 指數律都是用分數寫的，所以先把 $0.2$ 改寫成分數：

   $0.2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

   約到 $\tfrac15$ 很關鍵 —— 它露出了一個分子為 1 的分數，對應的正是一個純粹的方根，不帶額外的次方。

2. 2

   套用分數指數律。 對正的底數有 $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$，所以

   $10^{0.2}=10^{1/5}=\sqrt[5]{10}$

   這就是精確值：五次方等於 $10$ 的那個數。

3. 3

   先估個範圍再動手算。 因為 $1^{5}=1$、$2^{5}=32$，所以答案落在 $1$ 與 $2$ 之間；又因為 $1.5^{5}\approx7.6$ 已經很接近 $10$，所以它離 $1.5$ 比離 $2$ 近得多。有了這個範圍，就不會犯大錯。

4. 4

   寫出小數值。

   $\sqrt[5]{10}\approx1.5848932$

   乘方回去檢驗：$1.5848932^{5}=10.000000$ ✓，七位數字全對；而且 $10^{0.2}$ 與 $10^{1/5}$ 兩種算法在機器精度內完全一致 ✓。

5. 5

   說說這個常數會出現在哪裡。 $10^{0.2}$ 在聲學上正好跨過兩個三分之一倍頻程（一步是 $10^{1/10}$），而 $10^{1/10}\approx1.2589$（它的平方根）正是功率變化一分貝所對應的倍數。還有一點值得記住：$\left(10^{0.2}\right)^{5}=10^{1}=10$，也就是五個這樣的因子相乘，剛好跨過一個完整的十倍。