找一個四位數，它是 12 的倍數，且各位數字的乘積大於 25 且小於 30。任意給出一個即可。

Step-by-step solution

1. 1

   先把數字乘積的可能值縮小。 這個乘積只能是 $26$、$27$、$28$ 或 $29$。逐一檢查它們能不能寫成四個 $1$ 到 $9$ 的數字相乘（只要有一位是零，乘積就會變成 $0$）：

   $26=2\times 13\ \text{— 需要因數 }13,\ \text{不可能}$

   $29\ \text{是質數且}>9,\ \text{不可能}$

   $27=3^3=1\times 3\times 3\times 3\ \text{— 原則上可行}$

   $28=2^2\times 7=1\times 2\times 2\times 7\ \text{或}\ 1\times 1\times 4\times 7\ \text{— 可行}$

2. 2

   回想被 12 整除需要哪些條件。 因為 $12=4\times 3$ 且 $\gcd(4,3)=1$，這個數必須同時被兩者整除：

   $\text{末兩位要是下列數的倍數：}4,\qquad \text{各位數字和要是下列數的倍數：}3$

3. 3

   排除數字乘積 27。 它的數字多重集是 $\{1,3,3,3\}$ 與 $\{1,1,3,9\}$，數字和是 $10$ —— 不是 $3$ 的倍數，所以無論怎麼排都不會被 $3$ 整除，更談不上被 $12$ 整除。於是只剩乘積 $28$。

4. 4

   處理乘積為 28 的兩個數字多重集。 對 $\{1,2,2,7\}$，數字和是 $12$，是 $3$ 的倍數 $\checkmark$，所以只剩「被 $4$ 整除」這個條件。對 $\{1,1,4,7\}$，數字和是 $13$，不是 $3$ 的倍數，這組出局。把 $1,2,2,7$ 排成末兩位是 $4$ 的倍數（也就是 $12$ 或 $72$），就得到完整清單：

   $1272,\quad 2172,\quad 2712,\quad 7212$

5. 5

   把其中一個答案完整驗證一次。 取 $N=1272$：

   $1272\div 12=106\quad\checkmark$

   $1\times 2\times 7\times 2=28,\qquad 25<28<30\quad\checkmark$

   對所有四位數的 $12$ 倍數做窮舉搜尋，可以確認這四個數就是全部的解，所以任舉其一作答都可以。