求一個三位數 A，使 A 的數字和能被 6 整除、A + 3 的數字和也能被 6 整除，且 350 < A < 400。

Step-by-step solution

1. 1

   先定下這個數的形式。 由 $350<A<400$ 知百位數字是 $3$，所以 $A=\overline{3ab}$，其中 $a\in\{5,6,7,8,9\}$，數字和 $S=3+a+b$。

2. 2

   推出加 3 會讓數字和怎麼變。 只有兩種情形：

   • 不進位（$b\le 6$）：個位增加 $3$，所以 $S\to S+3$。
   • 進位（$b\ge 7$）：個位減少 $7$、十位增加 $1$，所以 $S\to S+3-10+1=S-6$。
3. 3

   排除不進位的情形。 若 $6\mid S$，則 $S+3$ 除以 $6$ 的餘數是 $3$，絕不會是 $0$。所以進位是必要的，而且

   $b\in\{7,8,9\}.$

   進位時 $S\to S-6$，只要 $S$ 是 $6$ 的倍數，它就自動也是——第二個條件等於白送。

4. 4

   加上數字和的條件。 要求 $3+a+b\equiv 0\pmod 6$，其中 $a\in\{5,\ldots,9\}$、$b\in\{7,8,9\}$。可行的數對是 $(a,b)=(6,9),(7,8),(8,7)$，每一組都給出 $S=18$。

5. 5

   寫出答案並逐一驗證。

   $369\to 3+6+9=18,\quad 372\to 3+7+2=12\ \checkmark$
   $378\to 18,\quad 381\to 12\ \checkmark$
   $387\to 18,\quad 390\to 12\ \checkmark$

   把 $351$ 到 $399$ 的每個整數都掃一遍，確認沒有別的解。