求 2706.225166081663 的平方根。

Step-by-step solution

1. 1

   用附近的完全平方數夾住答案。 $52^2 = 2704$、$53^2 = 2809$。由於 $2704 < 2706.225 < 2809$，這個根落在 $52$ 與 $53$ 之間，而且離 $52$ 近得多，因為目標值只比 $2704$ 高出 $2.225$，而整段的寬度有 $105$。

2. 2

   先做一階估算。 在 $x_0 = 52$ 附近，平方函數的斜率是 $2x_0 = 104$，所以平方值上升 $2.225166$，對應到根上大約是

   $\frac{2.225166}{104} \approx 0.021396$

   於是估值為 $52.021396$。這剛好就是牛頓法的一步。

3. 3

   再做一次牛頓迭代來加密。 迭代式是 $x_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(x_n + \tfrac{N}{x_n}\right)$，其中 $N = 2706.225166081663$。從 $x_1 = 52.021396$ 出發：

   $\frac{N}{x_1} = 52.021387, \qquad x_2 = \frac{52.021396 + 52.021387}{2} = 52.0213915$

   牛頓法每走一步，正確位數大約會翻倍，所以只要再走一趟，小數第六位就已經穩定了。

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   寫出結果。

   $\sqrt{2706.225166081663} \approx 52.021391$

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   平方回去驗證。 $52.021391^2 = 2706.225122$，比目標值少了 $4.45 \times 10^{-5}$——這與根在 $10^{-6}$ 這個量級上被截斷是一致的，因為導數 $2x \approx 104$ 會把這點誤差放大約一百倍。多留幾位的話，$52.0213914278^2 = 2706.2251660844$，與題目給的數在十一位有效數字上吻合。