一張海報長 64 公分、寬 36 公分，要剪成大小相同的正方形且不剩下任何材料。正方形的邊長最大是多少？最少會有幾個正方形？

Step-by-step solution

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   把「不剩下任何材料」翻譯成整除條件。 若正方形邊長為 $s$，則兩個邊上都必須剛好排進整數個正方形，所以 $64$ 與 $36$ 都必須是 $s$ 的整數倍：

   $s\mid 64\quad\text{且}\quad s\mid 36$

   換句話說，$s$ 是 $64$ 與 $36$ 的公因數，而允許的最大 $s$ 就是它們的最大公因數。這就是整題的全部內容——幾何只是提供了整除這個條件。

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   用質因數分解求最大公因數。

   $64=2^6,\qquad 36=2^2\times3^2$

   最大公因數對每個共有的質因數取兩邊指數中較小的那一個。質因數 $3$ 只出現在 $36$ 裡，所以毫無貢獻；質因數 $2$ 的指數分別是 $6$ 與 $2$，所以貢獻 $2^2$：

   $\gcd(64,36)=2^2=4$

   所以最大正方形的邊長是 $4$ 公分。（用輾轉相除法更快得到同樣結果：$64=1\cdot36+28$、$36=1\cdot28+8$、$28=3\cdot8+4$、$8=2\cdot4+0$，最後一個非零餘數就是 $4$。）

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   數一數每邊排幾個正方形。

   $\frac{64}{4}=16\ \text{個（沿長邊）},\qquad \frac{36}{4}=9\ \text{個（沿短邊）}$

   兩個除法都整除，印證這樣的鋪排確實不會有邊料。

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   相乘得到正方形的個數。

   $16\times9=144\ \text{個正方形}$

   用面積再檢查一次：海報面積是 $64\times36=2304$ 平方公分，每個正方形是 $4\times4=16$ 平方公分，而 $2304\div16=144$。✓ 兩種算法必須一致，因為這些小片剛好把整張紙鋪滿。

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   說明為什麼正方形最大時片數最少。 片數是 $\dfrac{2304}{s^2}$，隨 $s$ 增大而減少。所以「邊長最大」與「片數最少」其實是同一個問題問了兩次——這題的兩個小問都由單一個數 $\gcd(64,36)=4$ 回答。任何較小的公因數也可行，只是白費工：$s=2$ 會得到 $576$ 個，$s=1$ 則是 $2304$ 個。