一個三位數的各位數字互不相同。用它減去同樣數字反序寫成的數，結果是 693。求符合條件的最小三位數。

Step-by-step solution

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   先把兩個數依位值寫出來。 設各位數字為 $a$（百位）、$b$（十位）、$c$（個位），則這個數是 $100a + 10b + c$，它的反序數是 $100c + 10b + a$。

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   相減，看十位數字如何消失。

   $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a-c)$

   中間那一位完全抵消——這類差一定是 $99$ 的倍數，而 $b$ 對它毫無影響。

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   解出兩個數字的差。

   $99(a-c) = 693 \quad\Longrightarrow\quad a - c = \frac{693}{99} = 7$

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   列出數字組合，取最小的百位。 在 $a, c \in \{0,\dots,9\}$ 且 $a - c = 7$ 之下，可能的組合是 $(a,c) = (7,0), (8,1), (9,2)$。要讓整個數最小，百位就得盡量小，所以取 $a = 7$、$c = 0$。

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   再取允許範圍內最小的十位。 這個數形如 $7b0$，而三個數字必須互不相同，所以 $b \ne 7$ 且 $b \ne 0$。剩下最小的選擇是 $b = 1$，於是得到

   $710$

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   驗證。 $710$ 的反序數是 $017 = 17$，而 $710 - 17 = 693$。數字 $7, 1, 0$ 互不相同。任何更小的候選都需要 $a \le 6$，但 $c \ge 0$ 時 $a - c = 7$ 就不可能成立；至於 $700$ 有重複數字，而 $710$ 正是形如 $7b0$ 的下一個數。