一個表演團體的人數在 24 到 44 之間。每 5 人排成一列剛好排完，每 7 人排成一列則多出 2 人。這個團體有多少人？

Step-by-step solution

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   把兩個條件都翻譯成同餘式。 「每 $5$ 人一列剛好排完」表示人數 $n$ 滿足 $n\equiv0\pmod 5$；「每 $7$ 人一列多出 $2$ 人」表示 $n\equiv2\pmod 7$。再加上 $24\le n\le44$，這幾個條件就能完全鎖定 $n$——兩個模數互質的同餘式，每 $35$ 個連續整數裡只會有一個解，而這個範圍只涵蓋 $21$ 個整數。

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   從限制較嚴、也較好列的條件開始列候選。 $24$ 到 $44$ 之間 $5$ 的倍數有：

   $25,\ 30,\ 35,\ 40$

   從整除條件而不是餘數條件下手，候選清單會短很多——只要檢驗四個數，而不是六個。

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   逐一用 $7$ 去除檢驗。

   $25=7\cdot3+4,\qquad 30=7\cdot4+2\ \checkmark,\qquad 35=7\cdot5+0,\qquad 40=7\cdot5+5$

   只有 $30$ 的餘數是 $2$。

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   確認解的唯一性。 由中國剩餘定理，$n\equiv0\pmod5$ 與 $n\equiv2\pmod7$ 這一組條件在模 $35$ 之下只有一個解，也就是 $n\equiv30\pmod{35}$。下一個候選是 $30-35=-5$ 與 $30+35=65$，兩個都落在 $[24,44]$ 之外，所以 $30$ 是唯一答案。

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   回到題目的原文核對一次。 $30\div5=6$，剛好排成六列、沒有人剩下 ✓。$30\div7=4$，排成四列七人，還剩 $30-28=2$ 人 ✓。兩個條件都成立，而且 $30$ 落在題目給的範圍內，所以答案是選項 A。