求 p = 3³ × 5⁴ × 7⁵ × 11 與 q = 3 × 5³ × 7⁴ 的最大公因數，答案請寫成指數形式。

Step-by-step solution

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   注意這兩個數已經分解好了。 $p$ 與 $q$ 都直接以質數冪的乘積形式給你。這正是本題最大的禮物：求最大公因數最麻煩的一步 —— 把每個數拆成質因數 —— 已經做完了，所以你千萬不要把它們乘開。光是 $p$ 就等於 $3^3\times5^4\times7^5\times11 = 3{,}119{,}799{,}375$，再把它分解回去純屬白費工夫。

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   回想最大公因數的指數規則。 最大公因數是能同時整除兩者的最大數。質數冪 $r^k$ 要能整除 $p$，$k$ 就必須不超過 $r$ 在 $p$ 裡的指數；要能整除 $q$，$k$ 也必須不超過它在 $q$ 裡的指數。所以對每個質數，取兩個指數中較小的那個：

   $\text{最大公因數} = \prod_r r^{\min(a_r,\,b_r)}$

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   把質數並排列出來。 把每個出現過的質數在兩數裡的指數都寫下來，某個質數沒出現時指數記為 $0$：

   質數	在 $p$ 中	在 $q$ 中	較小者
   $3$	$3$	$1$	$1$
   $5$	$4$	$3$	$3$
   $7$	$5$	$4$	$4$
   $11$	$1$	$0$	$0$

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   質數 11 要特別小心。 分數通常就是丟在這裡。$11$ 出現在 $p$ 裡卻不在 $q$ 裡，所以它在 $q$ 裡的指數是 $0$，而 $\min(1,0)=0$。因為 $11^0=1$，因數 $11$ 就完全從最大公因數裡消失了 —— 只有其中一個數才有的質數，絕不可能出現在最大公因數裡。

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   把答案組成指數形式。

   $\text{最大公因數}(p,q) = 3^1 \times 5^3 \times 7^4 = 3 \times 5^3 \times 7^4$

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   用除法檢查。 乘開得到 $3\times125\times2401 = 900{,}375$。做除法：$q \div 900{,}375 = 1$ —— 更直接地說，$q = 3\times5^3\times7^4 = 900{,}375$ 剛好相等，所以最大公因數就是 $q$ 本身；這很合理，因為 $q$ 的每個指數都不超過 $p$ 對應的指數。於是 $q$ 整除 $p$，而 $900{,}375$ 同時整除兩者。