設 A = {2, 4, 5, 6}、B = {1, 3, 5, 7}、C = {3, 4, 6, 9, 10}、D = {1, 2, 3, 7, 8, 9}。求 A ∪ B、B ∪ C、C ∪ D、A ∩ B、C ∩ D 與 D ∩ A。

Step-by-step solution

1. 1

   動手之前先把兩個定義釘牢。 $A\cup B$（「聯集」）包含在 $A$ 或 $B$ 或兩者中出現的每一個元素，每個只列一次。$A\cap B$（「交集」）只包含同時屬於兩者的元素。一個可靠的習慣是把答案由小到大寫出來，這樣漏掉或重複的元素一眼就看得出來。

2. 2

   先求三個聯集。 把兩張清單併起來，再刪掉重複的：

   $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

   $B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\}$

   $C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\}$

   注意 $5$ 在 $A$ 與 $B$ 裡都出現，但在 $A\cup B$ 中只寫一次。

3. 3

   求 A ∩ B。 拿 $A=\{2,4,5,6\}$ 逐個對照 $B=\{1,3,5,7\}$：只有 $5$ 同時出現在兩邊。

   $A\cap B=\{5\}$

4. 4

   求 C ∩ D。 $C=\{3,4,6,9,10\}$ 與 $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ 共有 $3$ 與 $9$。

   $C\cap D=\{3,9\}$

5. 5

   求 D ∩ A。 $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ 與 $A=\{2,4,5,6\}$ 只共有 $2$。交集滿足交換律，所以 $D\cap A=A\cap D$。

   $D\cap A=\{2\}$

   $\boxed{A\cup B=\{1,\ldots,7\},\ B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\},\ C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\},\ A\cap B=\{5\},\ C\cap D=\{3,9\},\ D\cap A=\{2\}}$

6. 6

   用元素個數的恆等式逐對檢驗。 $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$。對 $A$ 與 $B$：$4+4-1=7$ ✓。對 $C$ 與 $D$：$5+6-2=9$ ✓。對 $B$ 與 $C$：$|B\cap C|=|\{3\}|=1$，所以 $4+5-1=8$ ✓。三個聯集的元素個數都與預測相符。