分數 2/3、5/8、8/13、11/18、… 依固定規律排列。後面某一項是 X/253，另一項是 1499/Y。求 X 與 Y 的最大公因數。

Step-by-step solution

1. 1

   把分子與分母當成兩個獨立的數列處理。 它們互不干涉，所以各自描述就好。分子 $2,5,8,11,\dots$ 每次加 $3$；分母 $3,8,13,18,\dots$ 每次加 $5$。兩者都是等差數列。

2. 2

   分別寫出第 $n$ 項的公式。 用 $\text{首項}+d(n-1)$：

   $\text{分子}=2+3(n-1)=3n-1,\qquad \text{分母}=3+5(n-1)=5n-2$

   用 $n=4$ 抽查：$3(4)-1=11$、$5(4)-2=18$，與 $\tfrac{11}{18}$ 相符。

3. 3

   找出分母為 253 的那一項。 解 $5n-2=253$ 得 $n=51$——是整數，表示這一項確實屬於這個規律。它的分子為

   $X=3(51)-1=152$

4. 4

   找出分子為 1499 的那一項。 解 $3n-1=1499$ 得 $n=500$，同樣是整數。它的分母為

   $Y=5(500)-2=2498$

5. 5

   求最大公因數前先把兩數質因數分解。 面對四位數用猜的並不保險：

   $152=2^3\times 19,\qquad 2498=2\times 1249$

   而 $1249$ 是質數（$35$ 以下的質數都除不盡它）。

6. 6

   取共同的部分。 唯一共有的質因數是 $2$，而它在 $2498$ 裡只出現一次，所以

   $\gcd(152,\,2498)=2$

   輾轉相除法也吻合：$2498=16\cdot152+66$、$152=2\cdot66+20$、$66=3\cdot20+6$、$20=3\cdot6+2$、$6=3\cdot2+0$。