計算 ((1/0.02272) × 4) × (500/75) × (5000/590)。

Step-by-step solution

1. 1

   先規劃算法，讓捨入誤差沒有機會累積。 四個因式裡有三個是除不盡的小數（$1/0.02272$、$500/75$、$5000/590$）。如果每一個都先四捨五入到四、五位再相乘，那些小誤差也會跟著相乘。安全的做法是全部保留成精確分數，只在最後一步取近似。

2. 2

   把每個因式都化成精確分數。 因為 $0.02272=\dfrac{2272}{100000}=\dfrac{71}{3125}$，

   $\frac{1}{0.02272}=\frac{3125}{71},\qquad \frac{500}{75}=\frac{20}{3},\qquad \frac{5000}{590}=\frac{500}{59}$

   這些都已經是最簡形式；$71$ 與 $59$ 都是質數，跟它們之間再也約不動了。

3. 3

   把這些分數一次乘完。

   $\frac{3125}{71}\cdot 4\cdot\frac{20}{3}\cdot\frac{500}{59}=\frac{3125\cdot 4\cdot 20\cdot 500}{71\cdot 3\cdot 59}=\frac{125000000}{12567}$

4. 4

   除法只在最後做這一次。

   $\frac{125000000}{12567}=9946.6857\ldots\approx 9946.69$

   整段計算只有這一次除法會引入捨入，所以寫出來的四位有效數字全都可信。

5. 5

   跟提早捨入的做法比一比，看看損失有多大。 用 $44.0141\cdot 4=176.0564$，再乘上 $6.6667$ 與 $8.4746$，這條提早取近似的路線給出 $9946.77$ —— 大了約 $0.08$，相對誤差大約是 $8\times 10^{-6}$，而它完全來自把 $5000/590=8.474576\ldots$ 與 $500/75=6.666\overline{6}$ 截得太早。誤差雖小，卻已經污染了第六位有效數字，也讓取到小數第二位的答案跑掉。正確的值是 $9946.69$。